2023年陕西省中考数学试卷（A卷）一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1.计算：（）A.2B.C.8D.2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.3.如图，，．若，则的度数为（）A.B.C.D.4.计算：（）A.B.C.D.5.在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（）第1页/共36页学科网（北京）股份有限公司A.B.C.D.6.如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（）A.B.7C.D.87.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（）第2页/共36页学科网（北京）股份有限公司A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm8.在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（）A.最大值B.最大值C.最小值D.最小值二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9.如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是__．10.如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为___．11.点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为___．12.如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________．第3页/共36页学科网（北京）股份有限公司13.如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___．三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）14.解不等式：．15.计算：．16.化简：．17.如图．已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点．使．且．（保留作图痕迹，不写作法）第4页/共36页学科网（北京）股份有限公司18.如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．19.一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同．（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为；（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．20.小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．21.一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，第5页/共36页学科网（北京）股份有限公司22.经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高是其胸径的一次函数．已知这种树的胸径为时，树高为；这种树的胸径为时，树高为．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当这种树的胸径为时，其树高是多少？23.某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场”中随机抽取了20棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数．其数据如下：28，36，37，39，42，45，46，47，48，50，54，54，54，54，55，60，62，62，63，64，通过对以上数据的分析整理，绘制了统计图表：分组频数组内小西红柿的总个数12815494526366根据以上信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图：这20个数据的众数是；第6页/共36页学科网（北京）股份有限公司（2）求这20个数据的平均数；（3）“校园农场“中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数．24.如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．（1）求证：；（2）若的半径，，求线段的长．25.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，．方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：第7页/共36页学科网（北京）股份有限公司（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．26.（1）如图①，在中，，，．若的半径为4，点在上，点在上，连接，求线段的最小值；（2）如图②所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽．已知：，，．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内（含边界）修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点．连接，点在上，连接．其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．第8页/共36页学科网（北京）股份有限公司2023年陕西省中考数学试卷（A卷）一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1.计算：（）A.2B.C.8D.【答案】B【解析】【分析】先根据有理数的减法法则计算即可．【详解】解：．故选：B．【点睛】本题主要考查了有理数的减法法则，熟知：减去一个数，等于加上这个数的相反数．2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；第9页/共36页学科网（北京）股份有限公司B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.如图，，．若，则的度数为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由对顶角相等可得，再由平行线的性质可求得，，结合已知条件可求得，即可求解．【详解】解：如图，，，∵，，，，，第10页/共36页学科网（北京）股份有限公司，．故选：A．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．4.计算：（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．【详解】解：．故选：B．【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5.在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（）A.B.第11页/共36页学科网（北京）股份有限公司C.D.【答案】D【解析】【分析】根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，本题得以解决．【详解】解：∵，∴函数是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数是经过第一、三、四象限的直线，故选：D．【点睛】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答．6.如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（）A.B.7C.D.8【答案】C【解析】【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．第12页/共36页学科网（北京）股份有限公司【详解】解：是的中位线，，，，，，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．7.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（）A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm【答案】A【解析】【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为第13页/共36页学科网（北京）股份有限公司，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可．【详解】解：是的一部分，是的中点，，，．设的半径为，则．在中，，，，，即的半径为．故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．8.在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（）A.最大值B.最大值C.最小值D.最小值【答案】D【解析】【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，，第14页/共36页学科网（北京）股份有限公司∵二次函数，对称轴在轴左侧，即，∴，∴，∴，∴当时，二次函数有最小值，最小值为，故选：．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9.如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是__．【答案】【解析】【分析】由绝对值的定义，再根据原点左边的数是负数即可得出答案．【详解】解：由题意得：点B表示的数是．故答案为：．【点睛】此题考查了数轴，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解本题的关键．10.如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为___．第15页/共36页学科网（北京）股份有限公司【答案】【解析】【分析】根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，即可．【详解】解：如图，过点作于，由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，在中，，，，同理，，故答案为：．【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．11.点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为___．【答案】62°【解析】【分析】连接，根据中心对称图形的定义得出点是菱形的两对角线的交点，根据菱形的性质第16页/共36页学科网（北京）股份有限公司得出，，那么．【详解】解：如图，连接，点是菱形的对称中心，，点是菱形的两对角线的交点，，，．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质，菱形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心，掌握菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．12.如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________．第17页/共36页学科网（北京）股份有限公司【答案】【解析】【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，设正方形的边长为m，∴，∵，∴，∴，，设反比例函数的表达式为，∴，解得或（不合题意，舍去），∴，∴，∴这个反比例函数的表达式是，第18页/共36页学科网（北京）股份有限公司故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义．13.如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___．【答案】【解析】【分析】由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出．【详解】解：，第19页/共36页学科网（北京）股份有限公司是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：．，即，此时、、三点共线且，点在的中点处，，．故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键．三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）14.解不等式：．【答案】【解析】【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．【详解】解：，去分母，得，移项，得，合并同类项，得，不等式的两边都除以，得．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．第20页/共36页学科网（北京）股份有限公司15.计算：．【答案】【解析】【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．【详解】解：原式＝﹣57+﹣8＝﹣51．【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．16.化简：．【答案】【解析】【分析】先算括号里的运算，把除法转为乘法，最后约分即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．第21页/共36页学科网（北京）股份有限公司17.如图．已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点．使．且．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】【分析】先作的平分线，再作的垂直平分线，直线交于点，则点满足条件．【详解】解：如图，点即为所求．【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．18.如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．【答案】见解析【解析】第22页/共36页学科网（北京）股份有限公司【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．【详解】证明：在中，，，．．．，．在和中，，∴．．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．19.一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同．（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为；（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有第23页/共36页学科网（北京）股份有限公司的数字是1的概率；（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．【小问1详解】由题意可得，数字1，1，2，3中，数字1有2个，所以，从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为，故答案为：；【小问2详解】树状图如下：由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．20.小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．【答案】8元【解析】【分析】设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是元，根据买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了元，列方程求解．【详解】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是元，由题意可得，第24页/共36页学科网（北京）股份有限公司解得：；答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程解决问题．21.一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，【答案】【解析】【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，第25页/共36页学科网（北京）股份有限公司由题意得：，，设，在中，，，，，，，，，，，，，解得：，，该景观灯的高约为．第26页/共36页学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．22.经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高是其胸径的一次函数．已知这种树的胸径为时，树高为；这种树的胸径为时，树高为．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当这种树的胸径为时，其树高是多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，利用待定系数法解答即可；（2）把代入（1）的结论解答即可．【小问1详解】解：设，根据题意，得，解之，得，∴；【小问2详解】当时，．∴当这种树的胸径为时，其树高为．【点睛】此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．第27页/共36页学科网（北京）股份有限公司23.某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场”中随机抽取了20棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数．其数据如下：28，36，37，39，42，45，46，47，48，50，54，54，54，54，55，60，62，62，63，64，通过对以上数据的分析整理，绘制了统计图表：分组频数组内小西红柿的总个数12815494526366根据以上信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图：这20个数据的众数是；（2）求这20个数据的平均数；（3）“校园农场“中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数．【答案】（1）54，见解析（2）50（3）15000个【解析】【分析】（1）用总数减去其它三组的频数可得的值，进而补全频数分布直方图，然后根据众数的定义解答即可；（2）根据算术平均数的计算公式解答即可；（3）用300乘（2）的结论可得答案．【小问1详解】由题意得，，补全频数分布直方图如下第28页/共36页学科网（北京）股份有限公司这20个数据中，54出现的次数最多，故众数为54．故答案为：54；【小问2详解】．这20个数据的平均数是50；【小问3详解】所求总个数：（个．估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数是15000个．【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、频数分布表，用样本估计总体，众数以及加权平均数，解决此题的关键是明确频率频数总数．24.如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．（1）求证：；（2）若的半径，，求线段的长．【答案】（1）见解析（2）第29页/共36页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）如图，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）如图，根据圆周角定理得到为的直径，求得．根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【小问1详解】证明：如图，连接，则，，，．；【小问2详解】如图，，为的直径，．第30页/共36页学科网（北京）股份有限公司，，，，又，．，，，连接，则，，，．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．25.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，．方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．第31页/共36页学科网（北京）股份有限公司要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）利用待定系数法则，求出抛物线的解析式即可；（2）在中，令得：，求出或，得出，求出，然后比较大小即可．【小问1详解】解：由题意知，方案一中抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，第32页/共36页学科网（北京）股份有限公司把代入得：，解得：，∴；∴方案一中抛物线的函数表达式为；【小问2详解】解：在中，令得：，解得或，∴，∴；∵，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法则，求出函数解析式．26.（1）如图①，在中，，，．若的半径为4，点在上，点在上，连接，求线段的最小值；（2）如图②所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽．已知：，，．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内（含边界）修一个半径为的圆型环道；过第33页/共36页学科网（北京）股份有限公司圆心，作，垂足为，与交于点．连接，点在上，连接．其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）连接，，过点作，垂足为，则，由直角三角形的性质得出，则可得出答案；（2）分别在，上作，连接，、、、．证出四边形是平行四边形．由平行四边形的性质得出．当点在上时，取得最小值．作，使圆心在上，半径，作，垂足为，并与交于点．证明△△，由相似三角形的性质得出，求出的长可得出答案．【详解】解：（1）如图①，连接，，过点作，垂足为，第34页/共36页学科网（北京）股份有限公司则．半径为4，，．，，，，线段的最小值为；（2）如图②，分别在，上作，连接，、、、．，，，四边形是平行四边形．．第35页/共36页学科网（北京）股份有限公司，，当点在上时，取得最小值．作，使圆心在上，半径，作，垂足为，并与交于点．∴，△△，，在矩形区域内（含边界），当与相切时，最短，即．此时，也最短．，也最短．，，此时环道的圆心到的距离的长为．【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．第36页/共36页学科网（北京）股份有限公司