2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第二节矩形第五章四边形第23讲特殊的平行四边形知识通关考点通关素养通关考点一矩形的性质例1（2023杭州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，则＝（）DA.B.C.D.跟踪训练如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6.图1（1）若BC＝8，则BO的长为；5（2）若AO＝6，则∠ABD＝，BD＝，矩形的周长是；（3）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若ED＝3BE，则AE＝，AD＝.图60°1212＋1236变式训练如图，点O是矩形ABCD的对角线AC，BD的交点，AE平分∠BAD，∠AOD＝120°，则∠AEO的度数为（）A.15°B.25°C.30°D.35°C考点二矩形的判定例2（2023上海）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（）A.AB∥CDB.AD＝BCC.∠A＝∠BD.∠A＝∠DC本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可.跟踪训练如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D，求证：四边形ACBD是矩形.证明：∵CD∥MN，∴∠OCB＝∠CBM.∵BC平分∠ABM，∴∠OBC＝∠CBM.∴∠OCB＝∠OBC.∴OC＝OB.同理可得OB＝OD.∴OA＝OB＝OC＝OD.∵CD＝OC＋OD，AB＝OA＋OB，∴AB＝CD.∴四边形ACBD是矩形（对角线互相平分且相等的四边形是矩形）.变式训练（2023内江）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交CE的延长线于点F.（1）求证：FA＝BD；证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.又∵E为AD的中点，∴AE＝DE.∴△AEF≌△DEC（AAS）.∴AF＝DC.又∵D为BC的中点，∴BD＝CD.∴FA＝BD.（2）连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形.证明：（2）∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴四边形ADBF是矩形.考点三矩形背景中线段的计算例3如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，点P是AD上一动点（不与点A，D重合），过点P作AC和BD的垂线，垂足分别为点E，F，则PE＋PF的值是（）A.B.C.D.3A题中点P是动点，但是答案中PE＋PF的值却是定值，说明点P在运动范围内任意一点答案都不变，那么我们可以考虑方法1：用特殊位置的方法来求解，比如，点P在AD的中点处；方法2：用等面积法，过点A构造△AOD中OD边上的高，则可表示△AOD的面积，连接PO，也可以利用S△POD＋S△POA表示△AOD的面积，利用等面积法构造方程可发现PE＋PF的值等于点A到BO的距离.跟踪练习（2023雅安）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为.【解析】连接CP，由勾股定理求出AB的长，再证四边形CDPE是矩形，得DE＝CP，然后求出CP的最小值，即可得出DE的最小值.3考点四矩形背景中图形的变换与动点问题例4（2022盘锦）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，AD＝3，点E为边BC上一点，将△DCE沿DE翻折，点C的对应点为点F，过点F作DE的平行线交AD于点G，交BC于点H.若点G是边AD的三等分点，则FG的长是.或本题考查了勾股定理、折叠、矩形的性质、平行四边形的性质与判定.由点G是边AD的三等分点可得，需要分类讨论，所以需要根据题意画出两个符合要求的图形.由题意知HG＝DE，如图，过点E作EM⊥GH于点M，根据题意可得四边形HEDG是平行四边形，证明HE＝FE，用等面积法求得ME，用勾股定理求得HM，可得HF的长，进而即可求解.图1图2跟踪训练（2022毕节）在矩形纸片ABCD中，点E为BC边的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF.若AB＝4，BC＝6，则CF的长是（）A.3B.C.D.D变式训练（2023辽宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点M为BC的中点，E是BM上的一点，连接AE，作点B关于直线AE的对称点B'，连接DB'，并延长交BC于点F.当BF最大时，点B'到BC的距离是.3.2【解析】如图，由题意知，点B'在以A为圆心，AB长为半径的圆上.过点B'作B'H⊥BC于点H.∵点B，B'关于直线AE对称，∴AB＝AB'，BE＝B'E，∠AEB＝∠AEB'，∠ABE＝∠AB'E.当DF与☉A相切于点B'时，BF有最大值，此时DF⊥AB'，∴∠AB'F＝∠AB'E＝90°.∴点E与点F重合.∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝∠AEB'.∴AD＝DE＝10.∴CE＝＝＝6.∴BE＝4＝B'E.∵B'H⊥BC，DC⊥BC，∴B'H∥CD.∴△EB'H∽△EDC.∴＝，即＝.∴HB'＝.∴点B'到BC的距离是3.2.故答案为3.2.1.（2022偃师期末）如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中∠CFE＝108°，则图1中的∠DEF的度数是.24°纸条中隐含矩形的性质，矩形中隐含平行线，本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.素养落地应用意识、几何直观2.（2022潍坊）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB'与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为.矩形问题常与其他知识相结合，矩形是大背景，本题将矩形的性质与折叠相结合，看似矩形问题，其实主要考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，所以解决问题的关键是发现其中考查的知识点的本质.素养落地应用意识、几何直观