2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第二部分：专题突破专题十一平面几何探究性综合应用类型二轴对称背景下的探究应用题型一三角形的折叠常见类型模型展示常用结论顶点落在三角形内（或边上）①△ADE≌△A'DE；②DE垂直平分AA'；③∠BDA'＋∠CEA'＝2∠BAC常见类型模型展示常用结论顶点落在三角形外①△ADE≌△A'DE；②DE垂直平分AA'；③∠BDA'－∠CEA'＝2∠BAC1.（2023大连）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质.已知AB＝AC，∠A＞90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折.同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC边上时，∠EDC＝2∠ACB.”小红：“若点E为AC的中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长.”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＞90°，△BDE由△ABE翻折得到.（1）如图1，当点D落在BC边上时，求证：∠EDC＝2∠ACB；解：问题1：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵△BDE是由△ABE翻折得到的，∴∠A＝∠BDE＝180°－2∠C.∵∠EDC＋∠BDE＝180°，∴∠EDC＝2∠ACB.（2）如图2，若点E为AC中点，AC＝4，CD＝3，求BE的长.（2）如图1，连接AD，交BE于点F.∵△BDE由△ABE翻折得到，∴AE＝DE，AF＝DF，AF⊥BE.∴CD＝2EF＝3.∴EF＝.∵点E是AC的中点，∴AE＝EC＝AC＝2.∴在Rt△AEF中，AF＝＝＝，在Rt△ABF中，BF＝＝＝.∴BE＝BF＋EF＝.问题解决小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A＜90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展.问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC＝BD＝4，2∠D＝∠ABD，若CD＝1，则求BC的长.问题2：如图2，连接AD，过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CG⊥BM于点G.∵AB＝BD，BM⊥AD，∴AM＝DM，∠ABM＝∠DBM＝∠ABD.∵2∠BDC＝∠ABD，∴∠BDC＝∠DBM.∴BM∥CD.∴CD⊥AD.又∵CG⊥BM，∴四边形CGMD是矩形.∴CD＝GM.在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝4，∴AD＝＝＝.∴AM＝DM＝，CG＝DM＝.∴BM＝＝＝.∴BG＝BM－GM＝BM－CD＝－1＝.∴在Rt△BCG中，BC＝＝＝.题型二矩形的折叠常见类型模型展示特殊结论定点落在矩形外△EGF是等腰三角形△AEC是等腰三角形常见类型模型展示特殊结论顶点落在矩形内BE垂直平分AA'常见类型模型展示特殊结论顶点落在矩形边上△EBA'∽△A'CD△FB'C∽△EDC2.（2022河南）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.2.（2022河南）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.（1）操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部的点M处，把纸片展平，连接PM，BM.根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：.∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）解：（1）∵对折矩形纸片ABCD，∴AE＝BE＝AB，∠AEF＝∠BEF＝90°.∵沿BP折叠，使点A落在矩形内部的点M处，∴AB＝BM，∠ABP＝∠PBM.∵sin∠BME＝＝，∴∠EMB＝30°.∴∠ABM＝60°.∴∠CBM＝∠ABP＝∠PBM＝30°.（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝，∠CBQ＝；15°15°【解析】由（1）可知，∠CBM＝30°.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°.由折叠，可得AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°.∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°.又∵BQ＝BQ，∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL）.∴∠CBQ＝∠MBQ＝15°.（2）①15°，15°②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由.②∠MBQ＝∠CBQ.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°.由折叠，可得AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°.∴∠BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°.又∵BQ＝BQ，∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL）.∴∠CBQ＝∠MBQ.（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长.（3）AP的长为cm或cm【解析】由折叠的性质，可得DF＝CF＝4cm，AP＝PM.∵Rt△BCQ≌Rt△BMQ，∴CQ＝MQ.当点Q在线段CF上时，∵FQ＝1cm，∴MQ＝CQ＝3cm，DQ＝5cm，∵PQ2＝PD2＋DQ2，∴（AP＋3）2＝（8－AP）2＋25，解得AP＝；当点Q在线段DF上时，∵FQ＝1cm，∴MQ＝CQ＝5cm，DQ＝3cm，∵PQ2＝PD2＋DQ2，∴（AP＋5）2＝（8－AP）2＋9，解得AP＝.综上所述，AP的长为cm或cm.3.（2023通辽）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学的操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.（1）如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝度；30（2）如图2，改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由.解：（2）∠MBQ＝∠CBQ.理由如下：∵在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部的点M处，∴AB＝BM，∠A＝∠BMP＝90°.∴BC＝AB＝BM，∠BMQ＝∠C＝90°.∵BQ＝BQ，∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL）.∴∠MBQ＝∠CBQ.