2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第二部分：专题突破专题十一平面几何探究性综合应用类型四非图形变换下的探究应用题型一动点型1.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N.（1）填空：AO的长为，AB的长为；42【解析】∵A（4，4），B（6，0），∴OA＝＝4，AB＝＝2.（2）当t＝1时，求点N的坐标；解：（2）设直线AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.【解析】将A（4，4），B（6，0）代入，得解得∴直线AB的解析式为y＝－2x＋12.由题意知，点N的纵坐标为1.令y＝1，则1＝－2x＋12.∴x＝.∴N（，1）.【解析】当0＜t＜4时，令y＝t，代入y＝－2x＋12，得x＝.∴N（，t）.∵∠AOB＝∠AOP＝45°，∠OPM＝90°，∴OP＝PM＝t.∴MN＝PN－PM＝－t＝.（3）请直接写出MN的长为（用含t的代数式表示）；（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t＝时，请直接写出S1·S2（即S1与S2的积）的最大值为.16【解析】如图，当t＝时，MN＝＝4.设EM＝m，则EN＝4－m.根据题意，可得S1·S2＝·m×4×（4－m）×4＝－4m2＋16m＝－4（m－2）2＋16.∵－4＜0，∴当m＝2时，S1·S2有最大值，最大值为16.题型二图形变化型2.（2023成都节选）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且＝（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F.【初步感知】（1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE＋BF＝AB，请写出证明过程.解：（1）证明：如图1，连接CD.∵∠C＝90°，AC＝BC，AD＝DB，∴AB＝AC，∠A＝∠B＝∠ACD＝45°，AD＝CD＝BD，CD⊥AB.∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠CDB＝90°.∴∠CDE＝∠BDF.∴△CDE≌△BDF（ASA）.∴CE＝BF.∴AE＋BF＝AE＋CE＝AC＝AB.【深入探究】（2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；（2）①AE＋BF＝AB.理由如下：如图2，过点D作DN⊥AC于点N，DH⊥BC于点H.∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°.∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH均是等腰直角三角形.∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH.∴△ADN∽△BDH.∴＝＝.设AN＝DN＝x，则BH＝DH＝2x.∴AD＝x.BD＝2x.∴AB＝3x.∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DHCN是矩形.∴∠NDH＝90°＝∠EDF.∴∠EDN＝∠FDH.又∵∠END＝∠FHD＝90°，∴△EDN∽△FDH.∴＝＝，即FH＝2NE.∴AE＋BF＝x＋NE＋（2x－FH）＝2x＝AB.②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）.②当点F在射线BC上时，AE＋BF＝AB；当点F在CB延长线上时，AE－BF＝AB.题型三新定义阅读探究型3.（2022济南）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.图1（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由.图2解：（1）四边形ABCD是垂美四边形.理由如下：如图1，连接AC，BD.∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上.∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上.∴直线AC是线段BD的垂直平分线.∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形.图1（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O.猜想：AB2＋CD2与AD2＋BC2有什么关系？并证明你的猜想.解：（2）AB2＋CD2＝AD2＋BC2.理由如下：如图2，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°.由勾股定理，得AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2.∴AD2＋BC2＝AB2＋CD2.图2（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC＝4，AB＝5，求GE的长.图解：（3）如图3，连接CG，BE.∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°.∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，即∠GAB＝∠CAE.在△GAB和△CAE中，∴△GAB≌△CAE（SAS）.∴∠ABG＝∠AEC.∵∠AEC＋∠AME＝90°，∴∠ABG＋∠AME＝90°，即CE⊥BG.∴四边形CGEB是垂美四边形.由（2），得CG2＋BE2＝CB2＋GE2.∵AC＝4，AB＝5，图3∴BC＝＝＝3.∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，∴GE2＝CG2＋BE2－BC2＝（4）2＋（5）2－32＝73，即GE＝.图3