2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第二部分：专题突破专题十函数的应用类型三新函数图象与性质的探究应用新函数图象与性质的探究应用是近年河南中考的一个趋势，近10年考查3次，2016年第21题考查了新函数的图象与性质，2019年第21题结合实际问题，侧重建立函数模型，借助图形与性质解决实际问题，2020年第22题考查了用新函数图象与性质解决几何问题，体现了数形结合思想对几何动点问题的应用价值.在其他省市中考中也常出现，如北京市5年3考.几何图形常以圆、三角形、四边形等形式呈现.这类考题主要通过类比已掌握的函数学习思路与经验，探究未知函数的图象和性质.函数学习的思路：实际问题建立函数模型函数概念（解析式）画函数图象探究图象性质实际应用1.函数解析式，必须关注自变量的取值范围.2.考查代入求值（代入横坐标求纵坐标、代入纵坐标求横坐标、代入点坐标求待定系数）.3.在平面直角坐标系内描点，并会用“光滑的曲线”画函数图象（已描点只需画图、已描部分点补全后画图、描点并画图）.4.探究函数的性质（主要关注“增减性、最值、对称性”等方面）.5.数形结合探究函数、方程和不等式之间的关系（求方程的解、不等式解集或求字母的取值范围）.题型一新函数图象与性质的探究1.某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2｜x｜的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.2.（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…－3－－2－10123…y…3m－10－103…其中，m＝.0（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.解：（2）如图所示.（3）观察函数图象，写出两条函数的性质.解：（3）①函数图象有两个最低点，坐标分别是（－1，－1）以及（1，－1）；②函数图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝0（y轴）；③从图象信息直接看出：当x＜－1或0＜x＜1时，函数值随自变量的增大而减小；当－1＜x＜0或x＞1时，函数值随自变量的增大而增大；④在x＜－2或x＞2时，函数值大于0，在－2＜x＜0或0＜x＜2时，函数值小于0等.（答案不唯一，合理即可）（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2－2｜x｜＝0有个实数根；②方程x2－2｜x｜＝2有个实数根；③关于x的方程x2－2｜x｜＝a有4个实数根时，a的取值范围是.332－1＜a＜02.（2022荆州）小华同学学习了函数知识后，对函数y＝通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象.图请根据图象解答：（1）【观察发现】①写出函数的两条性质：，；②若函数图象上的两点（x1，y1），（x2，y2）满足x1＋x2＝0，则y1＋y2＝0一定成立吗？.（填“一定”或“不一定”）函数有最大值为4当x＞0时，y随x的增大而增大不一定x…－4－3－2－1－－－01234…y…12410－4－2－－1…解：（1）①由题中图象知，函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）故答案为：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）②不一定【解析】假设x1＝－，则y1＝1.∵x1＋x2＝0，∴x2＝.∴y2＝－8，即y1＋y2＝1＋（－8）＝－7.∴y＋y＝0不一定成立.故答案为：不一定.图2（2）【延伸探究】如图2，将过A（－1，4），B（4，－1）两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数y＝－（x≤－1）的图象交于点P，连接PA，PB.①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；图2解：（2）①设直线AB的解析式为y＝kx＋（k≠0），则解得∴直线AB的解析式为y＝－x＋3.当n＝3时，直线l的解析式为y＝－x＋3－3＝－x，如图1，设直线AB与y轴交于点C，则△PAB的面积＝△AOB的面积.∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝OC×1＋OC×4＝×3×5＝.∴△PAB的面积为.图1②【解析】如图2，设直线l与y轴交于点D，∵l∥AB，∴△PAB的面积＝△ABD的面积.由题意知，CD＝n.∴S△ABD＝S△ACD＋S△BCD＝CD×5＝n.②直接用含n的代数式表示△PAB的面积.∴△PAB的面积为.图2题型二实际问题中函数图象与性质的探究3.（2019河南）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具.对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：（1）建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x，y.由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x＋y）＝m，即y＝－x＋.满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第象限内交点的坐标.一【解析】x，y都是边长，因此，都是正数，故点（x，y）在第一（2）画出函数图象函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝－x＋的图象可由直线y＝－x平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线y＝－x.解：（2）图象如下所示.①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为；8（3）平移直线y＝－x，观察函数图象【解析】把点（2，2）代入y＝－x＋，得2＝－2＋.解得m＝8.②在直线平移的过程中，交点个数还有0或2两种情况.联立得x2－mx＋4＝0.∴Δ＝m2－4×4，且m＞0.∴当有0个交点时，Δ＜0，则0＜m＜8；当有2个交点时，Δ＞0，则m＞8.②在直线平移的过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.（4）得出结论若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为.m≥84.（2023郴州）在实验课上，小明做了一个试验.如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g.在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右两边平衡.改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入水的质量，得到下表：托盘B与点C的距离x/cm3025201510容器与水的总质量y1/g1012152030加入水的质量y2/g57101525把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象.（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象.解：（1）作出y2关于x的函数图象如下.①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：解：（2）①观察表格可知，y1是关于x的反比例函数，设y1＝.把（30，10）代入，得10＝.解得k＝300.∴y1关于x的函数表达式为y1＝.②求y2关于x的函数表达式；③当0＜x≤60时，y1随x的增大而（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到.减小减小下②∵y1＝y2＋5，∴y2＋5＝.∴y2＝－5.（3）若在容器中加入水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围.解：（3）∵y2＝－5，19≤y2≤45，∴19≤－5≤45.∴24≤≤50.∴6≤x≤12.5.题型三利用新函数图象与性质解决平面几何问题重点知识或命题思路1.根据函数的概念识别自变量与因变量.2.表格中一些数据蕴含着几何信息.3.确定表格中未知字母可从几何推理中求出准确值，或根据函数图象的趋势估值.4.构造辅助函数，利用数形结合思想求解几何问题，注意分类讨论思想的应用.5.几何问题可以转化为函数图象来解决，函数图象与性质的探究也可以转化到几何图形中解决.5.（2020河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图1，点D是上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F.当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度.图1小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点D在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值.BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中发现：①“当点D为的中点时，BD＝5.0cm”，则上表中a的值是；5.0【解析】∵点D是的中点，∴＝.∴CD＝BD＝a＝5.0.②∵点A是线段BC的中点，∴AB＝AC.∵CF∥BD，∴∠ACF＝∠ABD，∠F＝∠BDA.∴△ACF≌△ABD（AAS）.∴CF＝BD.（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图所示，请在同一坐标系中画出函数yCD的图象.图2（2）yCD的图象如图所示.（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）.（3）yCF的图象如图所示.由图可知，当△DCF为等腰三角形时，线段BD的长度约为3.5cm或5.0cm或6.3cm（答案不唯一）【解析】由（1）可知，CF＝BD.当△DCF为等腰三角形时，可分三种情况讨论：①当DC＝CF时，由图象可知，BD＝CF＝5.0cm；②当DC＝DF时，由图象可知，BD＝CF＝3.5cm；③当CF＝DF时，由图象可知，BD＝CF＝6.3cm.综上所述，线段BD的长度约为3.5cm或5.0cm或6.3cm.6.如图，Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交于点C，连接AC.已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm.小帅根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小帅的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm5.624.673.762.653.184.37y2/cm5.625.595.535.425.194.734.113.00（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；解：（2）函数图象如图所示.（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为cm.3.00或4.91或5.77