2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第二部分：专题突破专题十函数的应用类型二二次函数模型二次函数模型是全国各地中考的热点，如河南2023年第22题，河南2022年第21题，2018年第21题，分值10分.该知识点多以实际问题为背景，建立二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决问题.常见的考查类型有：1.利用二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题；2.利用二次函数的性质解决生活和生产实际中的最大值和最小值的问题，如抛物线型，面积型等问题.1.利用二次函数解决实际问题，第一步是建立二次函数模型，一般都是根据两个变量之间的等量关系建立.[河南常考的是利润问题，等量关系为总利润＝（售价－成本）×销售量]2.利用二次函数探究实际生活中的最值问题，需先建立二次函数模型，列出二次函数关系式，整理成顶点式，函数最值应结合自变量的取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量的取值范围内的图象，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值.3.在实际问题中，要特别注意自变量的取值范围.题型一销售利润型问题利用二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题.1.（2023泰州）某公司的化工产品成本为30元/千克.销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元.考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售.一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示.（1）当一次性销售800千克时利润为多少元？解：（1）根据题意，得当x＝800时，y＝800×（50－30）＝800×20＝16000.∴当一次性销售800千克时利润为16000元.（2）求一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润.解：（2）当一次性销售量在1000～1750kg之间时，销售价格为50－30－0.01（x－1000）＝－0.01x＋30，∴y＝x（－0.01x＋30）＝－0.01x2＋30x＝－0.01（x2－3000）＝－0.01（x－1500）2＋22500.∵－0.01＜0，1000≤x≤1750，∴当x＝1500时，y有最大值，最大值为22500.∴一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润为22500元.（3）当一次性销售多少千克时利润为22100元？解：（3）①由（2）知，当x＝1750时，y＝－0.01×（1750－1500）2＋22500＝16250＜22100，∴当一次性销售量在1000～1750kg之间时，利润为22100元.∴－0.01（x－1500）2＋22500＝22100.解得x1＝1700，x2＝1300.∴当一次性销售为1300千克或1700千克时，利润为22100元.②当一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售，设此时函数解析式为y＝kx.由（2），可求得B（1750，21875）.代入解析式，可得k＝12.5.∴y＝12.5x（x≥1750）.∴22100＝12.5x.解得x＝1768.综上，当一次性销售为1300千克或1700千克或1768千克时，利润为22100元.2.（2023辽宁）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中100≤x≤160，且x为整数），当每件玩具的售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具的售价为140元时，每周的销量为40件.（1）求y与x之间的函数关系式；解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.根据题意，得解得∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋320.（2）当每件玩具的售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？解：（2）设周利润为w元.根据题意，得w＝（x－100）（－2x＋320）＝－2（x－130）2＋1800.∵－2＜0，∴当x＝130时，w取得最大值，此时w＝1800.答：当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元.题型二抛物线型问题利用二次函数解决抛物线型问题，一般是先根据实际问题的特点建立平面直角坐标系，设计合适的二次函数的解析式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后把求出的结果转化为实际问题的答案.3.（2023河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝－0.4x＋2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x－1）2＋3.2.（1）求点P的坐标和a的值；解：（1）在一次函数y＝－0.4x＋2.8中，令x＝0，则y＝2.8，∴P（0，2.8）.将P（0，2.8）代入y＝a（x－1）2＋3.2中，可得a＋3.2＝2.8.解得a＝－0.4.解：（2）∵OA＝3m，CA＝2m，∴OC＝5m.若选择扣球，令y＝0，则－0.4x＋2.8＝0，解得x＝7，即落地点距离点O距离为7m，∴落地点到C点的距离为7－5＝2（m）；若选择吊球，令y＝0，则－0.4（x－1）2＋3.2＝0，解得x＝±2＋1（负值舍去），（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网，要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.即落地点距离点O距离为（2＋1）m，∴落地点到C点的距离为5－（2－1）＝（4－2）（m）.∵4－2＜2，∴选择吊球，可以使球的落地点到C点的距离更近.4.（2023贵州）如图1，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图2所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1.图1图2备用图（1）求抛物线的表达式；解：（1）∵抛物线的对称轴与y轴重合，∴设抛物线的表达式为y＝ax2＋k.∵OC＝9，OA＝3，∴C（0，9），A（3，0）.将C（0，9），A（3，0）代入y＝ax2＋k，得解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋9.解：（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋9，∴当x＝1时，y＝－1＋9＝8.∵点B到对称轴的距离是1，∴B（1，8）.如图，作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'交OC于点P，点P即为所要找的位置.∴B'（－1，8），B'P＝BP.∴PA＋PB＝PA＋PB'≥AB'.（2）如图2，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；图2∴当B'，B，A三点共线时，拉杆PA，PB长度之和最短.设直线AB'的解析式为y＝mx＋n.将B'（－1，8），A（3，0）代入，得解得∴直线AB'的解析式为y＝－2x＋6.当x＝0时，y＝6，∴点P的坐标为（0，6）.（3）为了造型更加美观，小星重新设计了抛物线，其表达式为y＝－x2＋2bx＋b－1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9，求b的取值范围.解：（3）∵y＝－x2＋2bx＋b－1（b＞0）中，a＝－1＜0，∴抛物线开口向下.若0＜b≤5，在4≤x≤6范围内，当x＝6时，y取最小值，y最小＝－62＋2×6b＋b－1＝13b－37.∴13b－37≥9，解得b≥.∴≤b≤5；若b＞5，在4≤x≤6范围内，当x＝4时，y取最小值，y最小＝－42＋2×4b＋b－1＝9b－17.∴9b－17≥9，解得b≥.∴b＞5.综上所述，b的取值范围是b≥.题型三面积型问题利用二次函数解决面积问题，一般是先根据实际问题列出二次函数的解析式，根据二次函数的性质求最值，需要注意的是自变量的取值范围.5.（2023菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药.学校已定购篱笆120米.（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；解：（1）设垂直于墙的边长为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边长为（120－3x）米.根据题意，得S＝x（120－3x）＝－3x2＋120x＝－3（x－20）2＋1200.∵－3＜0，∴当x＝20时，S取最大值，为1200.∴120－3x＝120－3×20＝60.（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？解：（2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2－m＝（2400－m）株.根据题意，得25m＋15（2400－m）≤50000.解得m≤1400.∴最多可以购买1400株牡丹.6.（2023玄武区二模）如图，一块周长为40cm的矩形铁皮，如果在该铁皮的四个角上截去四个边长为2cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的长方体铁盒.（1）要使铁盒的容积为40cm3，求矩形铁皮的长和宽；解：（1）设矩形铁皮的长为xcm，则宽为（20－x）cm.根据题意，得2（x－4）（20－x－4）＝40.整理，得x2－20x＋84＝0.解得x1＝14，x2＝6（舍去）.解：（2）设铁盒的容积为ycm3.根据题意，得y＝2（x－4）（20－x－4）＝－2x2＋40x－128＝－2（x－10）2＋72.∵－2＜0，∴当x＝10时，y有最大值，最大值为72.此时20－x＝10.∴矩形铁皮的长和宽各为10cm时，铁盒的容积最（2）要使铁盒的容积最大，矩形铁皮的长和宽应为多少？最大容积是多少？