2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第二部分：专题突破类型三平移背景下的探究应用专题十一平面几何探究性综合应用题型一线段的平移1.（2022临汾）综合与实践已知线段AD向下平移m个单位后，再向右平移n个单位至线段BC，点A，D的对应点分别为点B，C，连接AB，CD，AC，BD，AC与BD交于O点.（1）如图1，求证：OB＝OD；解：（1）证明：由平移的性质，可得AD∥BC，AD＝BC.∴四边形ABCD是平行四边形.∴OB＝OD.（2）如图2，过D点作DM⊥BC于点M，N为CD的中点，连接MN，若∠ADB＝45°，OD＝3，MN＝4，求的值；解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD＝2OD＝6.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°.∵DM⊥BC，∴DM＝BM.∴△DBM是等腰直角三角形.∴BD＝DM＝6.∴DM＝BM＝6.∵DM⊥BC，点N是CD的中点，∴DC＝2MN＝8.∴MC＝＝＝2.∴＝.（3）在（2）的条件下，H在BC上移动，当△CDH为等腰三角形时，请直接写出HC的长.解：（3）8或4或【解析】如图，连接DH.若CD＝CH时，则CH＝8；若DH＝CD时，∵DH＝DC，DM⊥BC，∴CM＝HM＝2，∴CH＝4；若DH＝CH时，∵DH2＝HM2＋DM2，∴DH2＝（CH－CM）2＋36，∴CH＝DH＝.综上所述，CH的长为8或4或.2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，线段EF在直线BC上（点E在点F的左侧），且EF＝CB，过点F作直线CD的垂线，垂足为G，连接AE，AG，EG.（1）如图1，当点E和点C重合时，△AEG的形状为，＝.等腰直角三角形图1【解析】∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝45°.∵CD⊥AB于D，∴△ACD是等腰直角三角形.∴AC＝CD.当点E与C重合时，点G与D重合，∴△AEG是等腰直角三角形.∴＝＝.（2）如图2，当线段EF在直线BC上移动时，请判断的值是否发生变化.若不变，请仅就图2的情形给出证明；若改变，请说明理由.图2解：（2）的值不变.理由如下：∵AC＝CB，CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠DCA＝∠DCB＝45°.∵FG⊥CD，∴△CFG是等腰直角三角形.∴CG＝GF，∠GFC＝45°.∵EF＝BC，∴EF＝AC.图2∵∠ACG＝∠GFE，∴△ACG≌△EFG（SAS）.∴AG＝EG，∠AGC＝∠EGF.∴∠AGE＝∠CGF＝90°.∴△AGE是等腰直角三角形.∴＝.∴当线段EF在直线BC上移动时，的值不发生变化.图2（3）若AB＝4，当以点A，B，G，F为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出GE的长.解：（3）4或4【解析】∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝4，∴AC＝BC＝EF＝4.①如图1，当点F在BC的延长线上时，∵四边形AFGB是平行四边形，∴FG＝AB＝4，图1∵△CFG是等腰直角三角形，∴CF＝FG＝8，∴EC＝EF＋CF＝12，∴在Rt△ACE中，AE＝＝＝4，由（2）知，EG＝AE，∴EG＝4；②如图2，当点F在CB的延长线上时，同理可得EG＝4.综上所述，满足条件的GE的长为4或4.图2题型二图形的平移3.在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B.图图1（1）如图1，求点B的坐标.解：（1）如图1，过点B作BH⊥OA，垂足为H.由点A（4，0），得OA＝4.∵BO＝BA，∠OBA＝90°，∴OH＝BH＝OA＝×4＝2.∴点B的坐标为（2，2）.图1（2）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O'C'D'E'，点O，C，D，E的对应点分别为O'，C'，D'，E'.设OO'＝t，矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分的面积为S.①如图2，当点E'在x轴的正半轴上，且矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为四边形时，D'E'与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；图解：（2）①由点E，得OE＝.由平移知，四边形O'C'D'E'是矩形.∴∠O'E'D'＝90°，O'E'＝OE＝.∴OE'＝OO'－O'E'＝t－，∠FE'O＝90°.∵BO＝BA，∠OBA＝90°，∴∠BOA＝∠BAO＝45°.∴∠OFE'＝90°－∠BOA＝45°.∴∠FOE'＝∠OFE'.∴FE'＝OE'＝t－.∴S△FOE'＝OE'·FE'＝.∴S＝S△OAB－S△FOE'＝×4×2－，即S＝－t2＋t－.②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.②S的取值范围为≤S≤【解析】（ⅰ）当≤t≤时，如图2，令O'C'与AB交于点M，此时点D'位于第二象限.∴AO＝4－t，∠BAO＝45°.∴△AOM为等腰直角三角形.∴S△AO'M＝（4－t）2.图2此时，当t＝时，S有最小值，为；当t＝时，S有最大值，为.∴≤S≤.（ⅱ）当＜t≤4时，如图3，令O'C'与AB交于点M，D'E'与OB交于点N.图2∴S＝S△OAB－S△O'AM＝4－（4－t）2＝－t2＋4t－4＝－（t－4）2＋4∴△AO'M和△OE'N均为等腰直角三角形.图3∴O'A＝O'M＝4－t，O'E＝NE'＝t－.∴S＝S△OAB－S△OE'N－S△O'AM＝4－－（4－t）2＝－t2＋t－＝－＋.此时，当t＝时，S有最大值，为；当t＝4时，S有最小值，为.∴≤S≤.图3（ⅲ）当4＜t≤时，由①知，S＝－t2＋t－＝－＋4.∴当t＝4时，S有最大值，为，当t＝时，S有最小值，为.∴此时≤S＜.综上，S的取值范围为≤S≤.图3