2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第二部分：专题突破专题十函数的应用类型一反比例函数模型反比例函数模型是河南中考的必考点，常在第18题，第20题和第21题出现，主要考查反比例函数的解析式，取值范围，围成图形的面积等知识点.其考查的类型有：①反比例函数与遗产税的结合，如2017年河南第20题；②反比例函数与几何图形的结合，如2023年河南第19题，2021年河南第18题；③反比例函数中有关作图的综合性问题，如2018年河南第18题；2019年河南第21题，2022年河南第18题.1.待定系数法求解析式.2.反比例函数中｜k｜的几何意义.3.反比例函数的增减性.4.用数形结合思想写出不等式的解集.5.三角形与特殊四边形的判断与性质.题型一反比例函数与一次函数相结合解一次函数与反比例函数综合题的一般思路（1）通常先将已知交点代入反比例函数的解析式，求得反比例函数的解析式，再求另一交点的坐标，最后利用待定系数法求得一次函数的解析式.（2）观察图象，判断两个函数图象在交点两侧的部分的上、下位置关系（若图象不全，则先将图象补充完整），再根据题中的不等式求自变量的取值范围.（3）求不规则三角形的面积时，通常采用分割法，把不规则三角形转化为两个同底的规则三角形再求面积（此处的规则是指三角形三边中某一边与坐标轴平行或重合）.1.（2023恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线y＝x＋2交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线y＝（k≠0）在一、三象限分别交于C，D两点，AB＝BC，连接CO，DO.（1）求k的值；解：（1）在y＝x＋2中，令x＝0，得y＝2；令y＝0，得x＝－2.∴A（0，2），B（－2，0）.∵AB＝BC，∴A为BC中点.∴C（2，4）.把C（2，4）代入y＝，得4＝.解得k＝8.∴k的值为8.（2）求△CDO的面积.解：（2）解方程组得或∴D（－4，－2）.∴S△CDO＝S△DOB＋S△COB＝×2×2＋×2×4＝2＋4＝6.2.（2023泰安）如图，一次函数y1＝－2x＋2的图象与反比例函数y2＝的图象分别交于点A、点B，与y轴、x轴分别交于点C、点D，作AE⊥y轴，垂足为点E，OE＝4.（1）求反比例函数的表达式；解：（1）∵一次函数y1＝－2x＋2的图象与y轴、x轴分别交于点C、点D，∴点C（0，2），点D（1，0）.∵OE＝4，∴OC＝CE＝2.∵∠AEC＝∠DOC＝90°，∠ACE＝∠DCO，∴△AEC≌△DCO（ASA）.∴AE＝OD＝1.∴点A（－1，4）.∵点A在反比例函数y2＝的图象上，∴k＝－1×4＝－4.∴反比例函数的表达式为y2＝－.（2）在第二象限内，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；解：（2）解方程组得或∵点A（－1，4），∴点B（2，－2）.∵图象在第二象限，∴当y1＜y2时，x的取值范围是－1＜x＜0.（3）已知点P在x轴的负半轴上，连接PA，且PA⊥AB，求点P的坐标.解：（3）∵直线PA⊥AB，∴设直线PA的关系式为y＝x＋b.把点A（－1，4）代入，得4＝－＋b.解得b＝.∴直线PA的关系式为y＝x＋.当y＝0时，x＝－9，∴点P的坐标为（－9，0）.题型二反比例函数与几何图形相结合对于反比例函数与几何图形的综合题，常涉及以下几个方面（1）求反比例函数的解析式.（2）涉及求点的坐标时：①求交点坐标，应与图象联系在一起，观察图象，得出该点的横坐标（或纵坐标）代入已知的解析式中即可求解；②给出图形的面积求点的坐标，根据解析式，设出该点只含一个未知数的坐标，列出关于该图形面积的等式进行求解.3.（2023湘潭）如图，点A的坐标是（－3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB的中点.将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A'BC'.（1）若反比例函数y＝的图象经过点C'，求该反比例函数的表达式；解：（1）∵点A的坐标是（－3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点，∴OA＝3，OB＝4.∴BC＝2.∵将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A'BC'，∴C'（2，4）.∵反比例函数y＝的图象经过点C'，∴k＝2×4＝8.∴反比例函数的表达式为y＝.（2）若一次函数图象经过A，A'两点，求该一次函数的表达式.解：（2）如图，过点A'作A'H⊥y轴于点H.∵∠AOB＝∠A'HB＝∠ABA'＝90°，∴∠ABO＋∠A'BH＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°.∴∠BAO＝∠A'BH.∵BA＝BA'，∴△AOB≌△BHA'（AAS）.∴OA＝BH，OB＝A'H.∵OA＝3，OB＝4，∴BH＝OA＝3，A'H＝OB＝4.∴OH＝1.∴A'（4，1）.设一次函数的解析式为y＝ax＋b.把A（－3，0），A'（4，1）代入，得解得∴一次函数的表达式为y＝x＋.4.（2023贵州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点.（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；解：（1）∵四边形OABC是矩形，点D（4，1），且点D为AB的中点，∴B（4，2）.∴点E的纵坐标为2.∵反比例函数y＝（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，∴k＝4×1＝4.∴反比例函数表达式为y＝.把y＝2代入，得2＝.解得x＝2.∴E（2，2）.（2）若一次函数y＝x＋m与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围.解：（2）－3≤m≤0【解析】把D（4，1）代入y＝x＋m，得1＝4＋m.解得m＝－3.把E（2，2）代入y＝x＋m，得2＝2＋m.解得m＝0.题型三反比例函数与尺规作图相结合5.（2023衡阳）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A.（1）求点A的坐标；解：（1）解方程组得∴点A的坐标为（3，4）.（2）分别以点O，A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D，求线段OD的长.解：（2）设点D的坐标为（x，0）.由题意可知，BC是OA的垂直平分线.∴AD＝OD.∴（x－3）2＋42＝x2.∴x＝.∴D（，0），即OD＝.6.（2022河南）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C.（1）求反比例函数的解析式；解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4），∴k＝2×4＝8.∴反比例函数的解析式为y＝.（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹）解：（2）如图，直线m即为所求.（3）若线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD，求证：CD∥AB.解：（3）证明：∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝∠BAC.∵直线m垂直平分线段AC，∴DA＝DC.∴∠DAC＝∠DCA.∴∠DCA＝∠BAC.∴CD∥AB.