2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第五章四边形第22讲多边形及平行四边形知识通关考点通关素养通关对于平行四边形的性质与判定河南中考近10年10考，选择、填空、简答题皆有涉及.考查的形式和内容有：①利用对边平行和对角线互相平分的性质，在三角形中，结合中位线、勾股定理、内角和与外角等计算线段长或角度；②以平行四边形为背景，利用边和角的性质结合旋转、折叠、平移等变换进行证明或计算；③以圆或者二次函数为背景，结合动点问题对特殊四边形的存在条件进行判断与计算等.考点一多边形的相关性质例1（2023重庆）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为.36°本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，利用多边形内角和公式及正多边形的性质易得∠B的度数为108°，AB＝BC，再根据等边对等角，利用三角形内角和定理即可求得∠BAC的度数为36°.跟踪训练（2023长春）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为度.45变式训练（2023扬州）如果一个多边形的每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为.6考点二平行四边形的性质例2（2023成都）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）BA.AC＝BDB.OA＝OCC.AC⊥BDD.∠ADC＝∠BCD本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题.平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，A选项不符合题意；平行四边形的对角线互相平分，B选项符合题意；平行四边形的对角线不一定垂直，C选项不符合题意；平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，D选项不符合题意.跟踪训练已知在▱ABCD中，点E为对角线AC上一点.（1）如图1，当BE⊥AC时，若∠1＝30°，AB＝4，AC＝6，则平行四边形ABCD的面积为；12（2）如图2，当BE⊥BC时，点E经过AC的中点，若∠2＝60°，AC＝6，则另一条对角线的长度为；3（3）如图3，若点E是CD边上一点，若BE平分∠ABC时，若CE＝3，则AD＝；3（4）如图4，BE平分∠ABC，交AD延长线与F，若AD＝3，AB＝5，则DF＝.2（1）当点E，F分别是AD，BC的中点时，求证：四边形AFCE是平行四边形；证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC.∵点E，F分别是AD，BC的中点，∴AE＝AD，CF＝BC.∴AE＝CF.∴四边形AFCE是平行四边形.考点三平行四边形的判定例3如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上.（2）当AF，CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线时，求证：四边形AFCE是平行四边形；证明：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB，AD∥BC.∴∠AFB＝∠DAF.∵AF，CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，∴∠DAF＝∠DAB，∠ECF＝∠DCB.∴∠DAF＝∠ECF.∴∠AFB＝∠ECF.∴AF∥EC.∴四边形AFCE是平行四边形.（3）当EF恰好经过AC的中点时，求证：四边形AFCE是平行四边形.证明：（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴AE∥CF.∴∠DAC＝∠BCA.∵EF恰好经过AC的中点，∴OA＝OC.∵∠EOA＝∠FOC，∴△AOE≌∠COF（ASA）.∴AE＝CF.∴四边形AFCE是平行四边形.本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法即可解决问题，注意格式的书写，不要跳步.跟踪训练（2023邵阳）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（）A.AD＝BCB.∠ABD＝∠BDCC.AB＝ADD.∠A＝∠CD变式训练如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，点D是△ABC所在平面内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则BD的长为.2或2【解析】①如图，∵四边形ACBD1是平行四边形，且∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，∴BD1＝AC＝2.②如图，当AB，BC为边，∵四边形ABCD3是平行四边形，∴D3A∥BC，AD3＝BC＝2.∴∠D3AE＝∠CBA＝45°.∴D3E＝AE＝.∴BE＝AE＋AB＝3.∴BD3＝＝＝2.③如图，当AB，AC为边，∵ABD2C是平行四边形，∴BD2＝AC＝2.故答案为2或2.考点四平行四边形中的图形变换与动点问题例4（2022大庆）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处.若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（）A.108°B.109°C.110°D.111°C本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行四边形和折叠的性质是解题的关键.跟踪训练如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B'坐标是.跟踪训练图（－2，3）或（2，－3）变式训练（教材练习改编）如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时△CDE恰好为等边三角形，则AD＝，重叠部分的周长为，面积为.6cm（6＋3）cmcm2变式训练图考点五平行四边形与函数图象相结合问题例5（2022南通）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°.若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE＝x，OE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（）CABCD【解析】如图，过O点作OM⊥AB于点M.∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°.∵BC＝4，∴AB＝8，AC＝4.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝AC＝2.∴OM＝AO＝.∴AM＝＝3.设BE＝x，OE2＝y，则EM＝AB－AM－BE＝8－3－x＝5－x.∵OE2＝OM2＋EM2，∴y＝（x－5）2＋3.∵0≤x≤8，∴当x＝8时，y＝12.故选项C中的图象符合上述解析式的图象.故选C.过O点作OM⊥AB于点M，由含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求解AB，AC的长，结合平行四边形的性质可得AO的长，进而求得OM，AM的长，设BE＝x，则EM＝5－x，利用勾股定理可求得y与x的关系式，根据自变量x的取值范围可求得函数值的取值，即可判断函数的图象.跟踪训练如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）BBCD1.已知：如图所示，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且DE＝BC.证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF.∵AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形.接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF∥BC；②∴CF∥AD，即CF∥BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝BC.则正确的证明顺序应是（）A.①→③→②→④B.①→③→④→②C.②→③→①→④D.②→③→④→①C本题考查了平行四边形的性质与判定，难度不大.素养落地推理能力、模型观念2.（课后习题改编）如图，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘.想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树在池塘边不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请你设计出所要求的平行四边形.解：如图所示.把地扩大成平行四边形，而且面积要为原来的二倍.就可连接对角线AC，BD交于点O，过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行线，过点B作AC的平行线，过点D作AC的平行线，四条平行线依次交于M，N，G，H四点，则可得四边形AODH，AOBM，BOCN，OCGD均为平行四边形.由全等就可证明扩大后的面积是原来的二倍.素养落地推理能力、应用意识