2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第六章圆第25讲与圆有关的位置关系知识通关考点通关素养通关本讲知识是中考的热点内容，切线的性质在中招考试中出现的频率超高，它常常与圆周角定理及推论或者与特殊四边形的判定相结合，以解答题的形式出现，圆内接四边形及性质也常以解答题的形式考查角的大小及线段的长度.分值一般为9～10分.考点一点、直线与圆的位置关系例1（2022河北模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以点B为圆心，r为半径作☉B，当r＝3时，☉B与AC的位置关系是（）BA.相离B.相切C.相交D.无法确定点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是本讲内容的基础，熟练掌握各种位置关系的判断标准是解决问题的关键.变式训练（2022温州期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是.3＜r＜5考点二切线的性质与判定（10年7考）例2（2021河南）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在☉O上，当点P在☉O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.当AP与☉O相切时，点B恰好落在☉O上，如图2.请仅就图2的情形解答下列问题.（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；解：（1）证明：如图，连接OP，延长BO与圆交于点C，则OP＝OB＝OC.∵AP与☉O相切于点P，∴∠APO＝90°.∴∠PAO＋∠AOP＝90°.∵MO⊥CN，∴∠AOP＋∠POC＝90°.∴∠PAO＝∠POC.∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠PBO.∴∠POC＝∠OPB＋∠PBO＝2∠PBO.∴∠AOP＝2∠PBO.（2）若☉O的半径为5，AP＝，求BP的长.解：（2）如图所示，连接PC，过点P作PD⊥OC于点D.则有AO＝＝.由（1）可知，∠POC＝∠PAO.∴Rt△POD∽Rt△OAP.∴＝＝，即＝＝.解得PD＝3.∴OD＝4.∴CD＝OC－OD＝1.在Rt△PDC中，PC＝＝，∵CB为圆的直径，∴∠BPC＝90°.∴BP＝＝＝3.故BP长为3.本题考查了切线的性质及圆周角定理，解此类题目的关键是作出适当的辅助线，比如连接切点与圆心、将直径的两端与圆上某一点连接、过圆上某点作垂直于半径的线段等，根据辅助线构造直角三角形及相似三角形，再根据相关性质进行求解.（1）（2）跟踪训练（2022河南）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究.如图，滚铁环时，铁环☉O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内.当推杆AB与铁环☉O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果.（1）求证：∠BOC＋∠BAD＝90°；解：（1）证明：方法1：如图1，过点B作EF∥CD，分别交AD于点E，交OC于点F.∵CD与☉O相切于点C，∴∠OCD＝90°.∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°.∵EF∥CD，∴∠OFB＝∠AEB＝90°.∴∠BOC＋∠OBF＝90°，∠ABE＋∠BAD＝90°.∵AB为☉O的切线，∴∠OBA＝90°.∴∠OBF＋∠ABE＝90°.∴∠OBF＝∠BAD.∴∠BOC＋∠BAD＝90°.图1方法2：如图2，延长OB，交CD于点M.∵CD与☉O相切于点C，∴∠OCM＝90°.∴∠BOC＋∠BMC＝90°.∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°.∵AB为☉O的切线，∴∠OBA＝90°.∴∠ABM＝90°.∴在四边形ABMD中，∠BAD＋∠BMD＝180°.∵∠BMC＋∠BMD＝180°，∴∠BMC＝∠BAD.∴∠BOC＋∠BAD＝90°.图2方法3：如图3，过点B作BN∥AD.∴∠NBA＝∠BAD.∵CD与☉O相切于点C，∴∠OCD＝90°.∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°.∴AD∥OC.∴BN∥OC.∴∠NBO＝∠BOC.∵AB为☉O的切线，∴∠OBA＝90°.∴∠NBO＋∠NBA＝90°.∴∠BOC＋∠BAD＝90°.图3答：此时AD长50cm.（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点B是该区域内的最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cos∠BAD＝.已知铁环☉O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长.解：（2）如图4，辅助线作法同方法1.在Rt△ABE中，∵AB＝75，cos∠BAD＝，∴AE＝45.由（1）知，∠OBF＝∠BAD.∴cos∠OBF＝.在Rt△OBF中，∵OB＝25，∴BF＝15，OF＝20.∵OC＝25，∴CF＝5.∵∠OCD＝∠ADC＝∠CFE＝90°，∴四边形CDEF为矩形.∴DE＝CF＝5.∴AD＝AE＋ED＝50（cm）.图4考点三三角形的内切圆与外接圆例3（2023自贡）如图，△ABC内接于☉O，CD是☉O的直径，连接BD，若∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（）A.41°B.45°C.49°D.59°C本题主要考查了三角形外接圆、直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等.由直径所对的圆周角是直角可得∠DBC＝90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠DBA＝∠DCA，进而可计算∠ABC.跟踪训练（2023聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（）A.15°B.17.5°C.20°D.25°C【解析】如图，连接OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的性质即可得到结论.考点四圆内接四边形及其性质例4（2023北京）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB.（1）求证：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；解：（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB.∴DB平分∠ADC.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∴BD平分∠ADC.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.∴∠ABD＋∠CBD＋∠ADB＋∠CDB＝180°.（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长.解：（2）∵∠BAE＋∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE＋∠DAE＝90°.∴∠AED＝90°.∵∠BAD＝90°，∴BD是圆的直径.∴BD垂直平分AC.∴AD＝CD.∵AC＝AD，∴△ACD是等边三角形.∴∠ADC＝60°.∴∠BDC＝∠ADC＝30°.∵CF∥AD，∴∠F＋∠BAD＝180°.∴∠F＝90°.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°.∵∠FBC＋∠ABC＝180°，∴∠FBC＝∠ADC＝60°.∴BC＝2BF＝4.∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴BC＝BD.∵BD是圆的直径，∴圆的半径长是4.本题考查了圆内接四边形的性质.圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质.解题的关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD＋∠ADB＝90°，由垂径定理推出△ACD是等边三角形.（2022株洲）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池其中圆与正方形一角的两边均相切”，如图所示.【解析】如图，设正方形的一边与☉O的切点为C，连接OC，则OC⊥AC.∵四边形是正方形，AB是对角线，∴∠OAC＝45°.∴OA＝OC＝2（丈）.∴BN＝AB－AN＝10－2－2＝（8－2）丈.故答案为8－2.问题：此图中，正方形一条对角线AB与☉O相交于点M，N（点N在点M的右上方），若AB的长度为10丈，☉O的半径为2丈，则BN的长度为丈.（8－2）本题考查的是切线的性质、正方形的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键.连接OC，根据切线的性质得到OC⊥AC，根据正方形的性质得到∠OAC＝45°，求出OA，结合图形计算，得到答案.素养落地数形结合、数学文化