2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第12讲反比例函数及其应用第三章函数知识通关考点通关素养通关反比例函数是中考的必考内容，考查的知识点有：1.反比例函数的图象与性质，此考点多考查基础知识，常在选择题、填空题中考查，利用反比例函数的图象与性质，判断函数的增减性，以此来比较自变量或函数值的大小，10年3考，分值占3分.2.反比例函数解析式的确定，此考点为高频考点，常考查的类型有两种：①利用反比例函数中k的几何意义确定解析式；②利用待定系数法确定解析式，常出现在填空题和解答题中，10年9考.3.反比例函数与一次函数的综合，此考点在填空题与解答题中都有出现，常与三角形、四边形等知识结合考查，常见的考查类型有：①解析式的确定；②根据图象确定不等式的解集；③几何图形面积的计算或点的坐标的确定等.考点一反比例函数的图象与性质例1（2020河南）若点A（－1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＞y2＞y3B.y2＞y3＞y1C.y1＞y3＞y2D.y3＞y2＞y1C本题考查了反比例函数的增减性，明确k的正负与增减性之间的关系是解题的关键.数据比较简单，也可用代入求值比较大小.变式训练（2023武汉）关于反比例函数y＝，下列结论正确的是（）A.图象位于第二、四象限B.图象与坐标轴有公共点C.图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小D.图象经过点（a，a＋2），则a＝1C考点二反比例函数解析式的确定①利用反比例函数中k的几何意义确定解析式例2（2023长沙）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA.若△OAB的面积为，则k＝.本题考查了反比例函数的性质及反比例函数中k的几何意义.解题的关键是找出含k的关系式.属于基础题，难度不大.S△AOB＝｜k｜求出k值跟踪训练（2023牡丹江）如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y＝的图象经过点C和AD的中点E.若AB＝2，则k的值是（）BA.3B.4C.5D.6变式训练（2023辽宁）如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO.若矩形ABCD的面积是8，则k的值为.6【解析】如图，延长CD交y轴于点E，连接OD.∵矩形ABCD的面积是8，∴S△ADC＝4.∵AC＝2AO，∴S△ADO＝2.∵AD∥OE，∴△ACD∽△OCE.∴AD∶OE＝AC∶OC＝2∶3.∴S△ODE＝3.∴＝3.又∵k＞0，∴k＝6.故答案为6.②利用待定系数法确定解析式例3（2023河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案.如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y＝图象上的点A（，1）和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF.（1）求k的值；解：（1）将A（，1）代入y＝中，得1＝.解得k＝.（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；解：（2）如图，连接AC，令AC交x轴于点M.∵四边形AOCD是菱形，∴AC⊥OD，M是AC的中点.∵A（，1），∴AM＝1，OM＝，AC＝2.∴OA＝＝2.∴OA＝OC＝AC.∴△AOC是等边三角形.∴∠AOC＝60°.∴扇形AOC的半径为2，圆心角为60°.（3）请直接写出图中阴影部分的面积之和.解：（3）3－【解析】如图，BF交OE于点N.由题可知，S△FNO＝S△BNO＝＝.∴S△FBO＝2×＝.∵OD＝2OM＝2，∴S菱形AOCD＝OD·AC＝2.又∵S扇形AOC＝＝，∴S阴影＝S△FBO＋S菱形AOCD－S扇形AOC＝＋2－＝3－.跟踪训练（2023深圳）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB.若AB＝，反比例函数y＝（k≠0）恰好经过点C，则k＝.4考点三反比例函数与一次函数的综合例4如图，一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）.（1）填空：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；y＝－x＋4y＝【解析】将B（3，1）分别代入y＝－x＋b与y＝中，解得b＝4，k＝3.∴一次函数的解析式为y＝－x＋4，反比例函数的解析式为y＝.（2）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的取值范围.解：（2）由（1），得3＝.∴m＝1，则A点坐标为（1，3）.设P点坐标为（a，－a＋4）（1≤a≤3），则S＝OD·PD＝a（－a＋4）＝－（a－2）2＋2.∵－＜0，∴当a＝2时，S有最大值，最大值为S＝－×（2－2）2＋2＝2；当a＝1或a＝3时，S有最小值，最小值为S＝－×（1－2）2＋2＝.∴≤S≤2.本题考查了反比例函数与一次函数的综合运用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式.设出点P的坐标，求出三角形的面积表达式，根据二次函数的性质求出S的取值范围.跟踪训练（2023东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b（a＜0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A（－m，3m），B（4，－3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB.（1）求反比例函数和一次函数的表达式；解：（1）∵点B（4，－3）在反比例函数y＝的图象上，∴－3＝.解得k＝－12.∴反比例函数的表达式为y＝－.∵A（－m，3m）在反比例函数y＝－的图象上，∴3m＝－.解得m1＝2，m2＝－2（舍去）.∴点A的坐标为（－2，6）.∵点A（－2，6），B（4，－3）在一次函数y＝ax＋b的图象上，∴解得∴一次函数的表达式为y＝－x＋3.（2）求△AOB的面积；解：（2）∵点C为直线AB与y轴的交点，∴OC＝3.∴＝＋＝·OC·｜xA｜＋·OC·｜xB｜＝×3×2＋×3×4＝9.（3）请根据图象直接写出不等式＜ax＋b的解集.解：（3）x＜－2或0＜x＜4.1.（2022郑州二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，点P为该正六边形的中心.在C，D，E，P四个点中，位于同一反比例函数图象上的两个点是（）A.点C与点DB.点P与点EC.点E与点CD.点D与点PB2.如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2；依次进行下去；……；则点A2022的横坐标为.＋【解析】如图，分别过点A，A1，A2，作x轴的垂线，垂足分别为点C，D，E.∵一次函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，∴联立解得A（1，1）.∴AC＝OC＝1，∠AOC＝45°.∵AB⊥OA，∴△OAB是等腰直角三角形.∴OB＝2OC＝2.∵A1B∥OA，∴∠A1BD＝45°.设BD＝m，则A1D＝m.∴A1（m＋2，m）.∵点A1在反比例函数y＝上，∴m（m＋2）＝1.解得m＝－1＋或m＝－1－（舍去）.∴A1（＋1，－1）.∵A1B1⊥A1B，∴BB1＝2BD＝2－2.∴OB1＝2.∵B1A2∥BA1，∴∠A2B1E＝45°.设B1E＝t，则A2E＝t.∴A2（t＋2，t）.∵点A2在反比例函数y＝图象上，∴t（t＋2）＝1.解得t＝－＋或t＝－－（舍去）.∴A2（＋，－）.同理，可求得A3（2＋，2－）.以此类推，可得点A2022的横坐标为＋.故答案为＋.本题属于规律探究题，主要考查反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质等，将函数图象与几何图形结合起来正确表示出点A，A1等关键点的坐标是解题关键.素养落地数形结合、数学运算、逻辑推理