2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第14讲二次函数综合题第三章函数1.二次函数图象性质的应用是河南中考的常考内容，考查二次函数的增减性、对称性、最值，并与平移变换，方程等结合出题.河南近10年考查了4次.2.由二次函数与线段交点个数、封闭图形中的整点个数，求参数的取值范围问题，近年来在全国各地的中考中频繁出现，如2023年北京第26题，2023年绍兴第23题，2022年北京第26题，2021年北京第26题，2021年河南第22题，2021年吉林第26题都有考查，多以解答题的形式出现，也有省份以选择题的形式出现.属于中等难度，分值10分.类型一二次函数性质的应用1.根据题意求出抛物线的表达式，顶点坐标，对称轴等.2.画出函数图象的示意图，特别要注意抛物线的开口方向，当开口不确定时要分类讨论.3.结合图象的性质，数形结合分析问题.例1（2023北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t.（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，∴a＋b＋c＝4a＋2b＋c.∴3a＋b＝0.∴＝－3.∵对称轴为x＝－＝，∴t＝.（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围.解：（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴＜＜，x1＜x2.∵y1＜y2，a＞0，∴点（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则点（x1，y1）与点（x2，y2）的中点在对称轴的右侧.∴＞t，即t≤.跟踪训练（2023浙江）已知二次函数y＝x2－2tx＋3（t＞0）.（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？解：（1）将（2，1）代入y＝x2－2tx＋3，得1＝4－4t＋3.解得t＝.（2）当0≤x≤3时，y的最小值为－2，求出t的值.解：（2）由题意知，抛物线y＝x2－2tx＋3对称轴为x＝t.若0＜t≤3，当x＝t时，函数取得最小值，∴t2－2t2＋3＝－2，解得t＝；若t＞3，当x＝3时，函数取得最小值，∴9－6t＋3＝－2，解得t＝（不合题意，舍去）.综上所述，t的值为.（3）如果A（m－2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3，求m的取值范围.解：（3）∵A（m－2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，∴二次函数y＝x2－2tx＋3图象的对称轴x＝t即为直线x＝＝m－1.∴t＝m－1.∵t＞0，∴m－1＞0.解得m＞1.∵m－2＜m，∴点A在对称轴的左侧，点C在对称轴的右侧.在y＝x2－2tx＋3中，令x＝0，得y＝3.∴抛物线y＝x2－2tx＋3与y轴的交点为（0，3）.∴（0，3）关于对称轴x＝m－1对称的点为（2m－2，3）.∵b＜3，∴4＜2m－2.解得m＞3.①当点A（m－2，a），B（4，b）都在对称轴的左侧时，∵y随x的增大而减小，且a＜b，∴4＜m－2，解得m＞6，此时m满足的条件为m＞6；②当点A（m－2，a）在对称轴的左侧，点B（4，b）在对称轴的右侧时，∵a＜b，∴点B（4，b）到对称轴x＝m－1的距离大于点A（m－2，a）到对称轴x＝m－1的距离，∴4－（m－1）＞m－1－（m－2），解得m＜4，此时m满足的条件是3＜m＜4.综上所述，m的取值范围是3＜m＜4或m＞6.解：（1）∵抛物线与x轴交于A（1，0）和B（－5，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝－2.在y＝－3x＋3中，令x＝－2，得y＝9.∴抛物线的顶点为（－2，9）.设抛物线的函数解析式为y＝a（x＋2）2＋9，将A（1，0）代入，得0＝9a＋9.解得a＝－1.∴抛物线的函数解析式为y＝－（x＋2）2＋9＝－x2－4x＋5.变式训练（2023凉山州）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）和B（－5，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝－3x＋3过抛物线的顶点P.（1）求抛物线的函数解析式.（2）若直线x＝m（－5＜m＜0）与抛物线交于点E，与直线BC交于点F.①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标.：（2）①在y＝－x2－4x＋5中，令x＝0，得y＝5.∴C（0，5）.由B（－5，0），C（0，5），可得直线BC解析式为y＝x＋5.∴E（m，－m2－4m＋5），F（m，m＋5）.∴EF＝－m2－4m＋5－（m＋5）＝－m2－5m＝－（m＋）2＋.∵－1＜0，∴当m＝－时，EF取得最大值.∴m的值为－，EF的最大值为.解得m＝0（E与C重合，舍去）或m＝－4，∴E（－4，5）；若EF＝FC，则（m2＋5m）2＝2m2，解得m＝0（舍去）或m＝－5或m＝－－5（不合题意，舍去），∴E（－5，－2＋6）；∵E（m，－m2－4m＋5），F（m，m＋5），C（0，5），∴EF2＝（m2＋5m）2，EC2＝m2＋（m2＋4m）2，FC2＝2m2.若EF＝EC，则（m2＋5m）2＝m2＋（m2＋4m）2，若EC＝FC，则m2＋（m2＋4m）2＝2m2，解得m＝0（舍去）或m＝－3或m＝－5（不合题意，舍去），∴E（－3，8）.综上所述，点E的坐标为（－4，5）或（－5，－2＋6）或（－3，8）.类型二二次函数的交点和整点问题1.抛物线与直线的交点问题的解决方法是联立两个解析式得到一元二次方程，再根据一元二次方程判断.2.抛物线与线段的交点问题的解决方法：①当抛物线的解析式确定，线段含参数时，将线段的一端固定，另一端运动，利用动点的横坐标与动点的纵坐标代入抛物线的解析式所得的函数值进行大小比较求解；②当抛物线含有参数时，首先要从关系式上分析其图象的对称轴、开口方向、顶点坐标及与坐标轴的交点，二次项系数a的符号决定开口方向，所以二次项系数含参时，一定要分类讨论，然后数形结合，通过画函数图象示意图，找到特定时刻如图象的临界位置，特别需要考虑图象的端点、顶点的情况，发现问题的突破口做出正确解答.3.已知区域内整点的个数，求待定系数取值范围的一般步骤：①准确作图；②确定待定系数的意义，明确图象的变化趋势；③明确整点所在区域，注意特殊点，临界点.总之，画图、数形结合及分类讨论是解决此类题的常用方法.例2（2021河南）如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b相交于点A（2，0）和点B.（1）求m和b的值；解：（1）将点A的坐标代入抛物线的表达式，得0＝4＋2m，解得m＝－2.将点A的坐标代入直线的表达式，得0＝－2＋b，解得b＝2.故m＝－2，b＝2.（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解集；解：（2）由（1）知，直线和抛物线的表达式分别为y＝－x＋2，y＝x2－2x.联立上述两个函数的表达式并解得（不合题意的值已舍去），∴点B的坐标为（－1，3）.从图象上看，不等式x2＋mx＞－x＋b的解集为x＜－1或x＞2.（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围.解：（3）－1≤xM＜2或xM＝3【解析】当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，∵MN的距离为3，而AB的距离为3，故此时只有一个交点，即－1≤xM＜2；当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；当点M在点A的右侧，且当xM＝3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，－1），即当xM＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点.综上所述，－1≤xM＜2或xM＝3.跟踪训练（2023德阳）已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（－4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，－4）.（1）求抛物线的解析式；解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x＋4）（x－2）.将点C（0，－4）代入y＝a（x＋4）（x－2），得－8a＝－4.解得a＝.∴抛物线的解析式为y＝（x＋4）（x－2）＝x2＋x－4.（2）如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当平面内的直线y＝kx＋6与新图象有三个公共点时，求k的值；图解：（2）∵直线的解析式为y＝kx＋6，∴直线经过定点（0，6）.∴可将过点（0，6）的直线旋转，观察其和新图象的公共点情况即可解决问题.∵把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的解析式为y＝－x2－x＋4，∴新图象的函数解析式为当－4＜x＜2时，y＝－x2－x＋4；当x≤－4或x≥2时，y＝x2＋x－4.①如图1，当直线y＝kx＋6与翻折上去抛物线的部分相切时，和新图象有三个公共点，图2联立得－x2－x＋4＝kx＋6，整理得x2＋2（1＋k）x＋4＝0，∵Δ＝0，∴4（1＋k）2－16＝0，解得k＝±2－1，当k＝2－1＝1时，即如图1所示，符合题意，当k＝－2－1＝－3时，如图2所示，直线y＝kx＋b经过点B，不符合题意，舍去；图2②如图3，当直线y＝kx＋6经过点A时，和新图象有三个公共点，把A（－4，0）代入y＝kx＋6，得－4k＋6＝0，解得k＝.综上所述，当平面内的直线y＝kx＋6与新图象有三个公共点时，k的值为1或.图3（3）如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过点F作FG⊥CH于点G，若＝2，求点F的坐标.图解：（3）设D（0，t），则H（2＋t，t）.∵EF∥AB，∴∠FHG＝∠OBC.∵FG⊥CH，∴tan∠FHG＝tan∠OBC＝2.∴FG＝2HG.∴HG＝FH.∵＝2，∴DF＝2FH.∴DF＝DH.∵DH＝2＋t，∴FD＝（t＋4）.∴F（t＋，t）.当x2＋x－4＝t时，x＝t＋是方程的一个根，∴t2－6t－32＝0.解得t＝－4（舍去）或t＝8.∴F（4，8）.变式训练（2023许昌一模）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A（2，3）.（1）用含a的式子表示b；解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A（2，3），∴4a＋2b＋3＝3.∴b＝－2a.解：（2）∵b＝－2a，∴抛物线为y＝ax2－2ax＋3.如图1，设抛物线y＝ax2－2ax＋3与直线x＝－1、直线x＝2分别交于点B，C.∵当x＝－1时，y＝a＋2a＋3＝3a＋3，当x＝2时，y＝4a－4a＋3＝3，∴B（－1，3a＋3），C（2，3）.∵y＝ax2－2ax＋3＝a（x－1）2－a＋3，∴该抛物线的顶点为（1，－a＋3），对称轴为直线x＝1.设点C关于直线x＝1的对称点为点D，则D（0，3）.∵a＞0，且－1＜0，∴3a＋3＞3.∴当点P与点B重合，即m＝－1时，n＝3a＋3最大.∴3a＋3＝5.解得a＝.图1（2）若抛物线开口向上，点P（m，n）是抛物线上一动点，当－1≤m≤2时，n的最大值是5，求a的值；（3）将点M（－1，4）向右平移5个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出a的取值范围.解：（3）a＝－1或≤a＜【解析】∵点M（－1，4）向右平移5个单位长度得到点N，∴N（4，4）.设抛物线y＝ax2－2ax＋3与直线x＝－1交于点B，与直线x＝4交于点E，则B（－1，3a＋3），E（4，8a＋3）.当a＜0时，如图2，∵3a＋3＜3，8a＋3＜3，∴点B，E都在直线MN的下方，∴当抛物线的顶点在线段MN上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，∴－a＋3＝4，解得a＝－1；图2∵当点B在点M的下方，且点E与点N重合或在点N上方时，线段MN与抛物线只有一个公共点，∴解得≤a＜.综上所述，a的取值范围是a＝－1或≤a＜.当a＞0时，如图3，图3例3已知抛物线y＝mx2－2mx＋n交x轴于A，B两点，交y轴于点C.（1）若A（－1，0），C（0，1）.①求该抛物线的解析式及点B的坐标；②设直线BC的解析式为y＝kx＋b，直接写出不等式kx＋b＞mx2－2mx＋n的解集.解：（1）①将A（－1，0），C（0，1），代入y＝mx2－2mx＋n中，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋1.当y＝0时，有－x2＋x＋1＝0.解得x1＝－1，x2＝3.∴B（3，0）.②x＜0或x＞3【解析】把B（3，0），C（0，1）代入到y＝kx＋b中，得解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋1.不等式kx＋b＞mx2－2mx＋n的解集，即为y＝－x＋1在y＝－x2＋x＋1的上方对应自变量x的取值范围.如图1，∴x＜0或x＞3.图1（2）规定：横、纵坐标都是整数的点叫整点，若n＝m＋4，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不包含边界）恰有7个整点，直接写出m的取值范围.解：（2）－2＜m≤－1【解析】∵y＝mx2－2mx＋m＋4＝m（x－1）2＋4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）.当m＞0时，抛物线的开口向上，与x轴无交点，不符合题意；当m＜0时，抛物线的开口向下.如图2，当区域内包含整点（0，1），（1，1），（2，1），（0，2），（1，2），（2，2），（1，3）时满足题意，∴抛物线与y轴的交点（0，m＋4）在直线y＝2与y＝3之间，图2抛物线与直线x＝－1的交点（－1，4m＋4）在直线y＝1下方.∴解得－2＜m≤－1.图2