2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第20讲相似三角形第四章三角形知识通关考点通关素养通关本讲常考的知识点有平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定及应用（10年10考），常用于解决图形中的边角关系及比值问题，是解决几何问题的重要手段.它们在试卷中很少单独考查，一般会关联坐标、网格、平行线、特殊四边形等知识，也常与图形的折叠、平移及旋转等变换相结合出现在类比探究问题中，分值基本占3～13分.考点一平行线分线段成比例例1如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC.若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝.解决此类问题，关键在于找对“对应线段”，所成比例的线段都在被截直线上，从“＝，＝，＝”（如图）中选取正确的关系，借助比例的思想求线段长.跟踪训练（2023北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为.考点二相似三角形的判定例2如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝4，CD＝1，BC＝4.在边BC上取一点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与以C，D，P为顶点的三角形相似，甲认为这样的点P只存在1个，乙认为这样的点P存在不止1个，则（）BA.甲的说法正确B.乙的说法正确C.甲、乙的说法都正确D.甲、乙的说法都不正确本题主要考查相似三角形的判定.解决此类问题时，要注意：题中若出现“∽”符号，则题中对应顶点已呈对应关系；若文字性地说两个三角形相似，则需根据对应顶点的对应关系进行分类讨论.掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，并注意方程思想的应用.跟踪训练（2023大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片ABCD，如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，与点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是.△MCB【解析】利用矩形的性质得到∠D＝∠C＝90°，然后利用折叠的性质推导出∠BMN＝∠A＝90°，进而得到∠DNM＝∠CMB，由此推断出△NDM∽△MCB.考点三相似三角形的判定与性质的应用例3（2023恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC，交BC于点F，＝，BF＝8，则DE的长为（）AA.B.C.2D.3【解析】∵DE∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形.∴DE＝CF.设DE＝CF＝x.∵BF＝8，∴BC＝BF＋CF＝8＋x.∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC.∴＝.∵＝，∴＝.∴＝，即＝.解得x＝.故选A.本题考查了相似三角形的判定与性质，并涉及平行四边形的判定与性质.由DE∥BC，EF∥AC，得四边形EFCD是平行四边形，DE＝CF，设DE＝CF＝x，由△AED∽△ABC，＝，可得＝，即可解得答案.跟踪训练（2023徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点.若点E在边AC上，且＝，则AE的长为（）A.1B.2C.1或D.1或2D【解析】在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°.∵点D是AB的中点，∴AD＝.∵＝，∴DE＝1.如图1，当∠ADE＝90°时，∵∠ADE＝∠ABC，＝，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴AE＝2；∵点D是AB中点，点H是AC的中点，∴DH∥BC，DH＝BC＝1，∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，∴∠DEH＝60°，∴∠ADE＝∠A＝30°，∴AE＝DE＝1.故选D.如图2，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，1.（2022丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上.若线段AB＝3，则线段BC的长是（）A.B.1C.D.2C本题考查了平行线分线段成比例，抓住横格线等距、平行的特征，可列比例线段，求得BC.素养落地数学应用、数学建模2.（2022嘉兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E.点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为.cm本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质，可以求得BD的长.素养落地数学应用、数学建模3.（2022河北）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则（1）AB与CD是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）AE＝.是（1）证明△ACG≌△CFD，推出∠CAG＝∠FCD，证明∠CEA＝90°，即可得到结论；（2）利用勾股定理求得AB的长，证明△AEC∽△BED，利用相似三角形的性质列式计算即可求解.素养落地数学应用、数学建模