2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础微专题3对角互补模型第四章三角形对角互补型：顾名思义，在四边形或者构成的几何图形中，相对位置的两个角互补，即和为180°.常见的有90°，90°和120°，60°等情况.通过旋转或者作垂线，构造出全等三角形或者相似三角形，将不规则的四边形转换成三角形或者正方形、矩形等，利用特殊三角形和矩形、正方形的性质解决问题.背景1含90°的对角互补模型——全等型条件：∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.思路分析：方法1：过角平分线上的直角顶点C，向另一个直角∠AOB的两边作垂线，垂足分别为点M，N.方法2：以角平分线上的直角顶点为旋转中心，将直线CO逆时针旋转90°，使得CO'⊥CO.模型方法1：作垂线方法2：旋转结论①CD＝CE；②OD＋OE＝OC；③S△COD＋S△COE＝OC2模型方法1：作垂线方法2：旋转结论①CD＝CE；②OE－OD＝OC；③S△COE－S△COD＝OC2模型方法1：作垂线方法2：旋转结论分析易证△CMD≌△CNE，四边形CMON是正方形易证△COD≌△CO'E，△COO'是等腰直角三角形注意：分类讨论时请注意类比思想的运用模型应用1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC.点D为BC边的中点，E为AB边上一动点（不与点A，B重合），以点D为直角顶点、以射线DE为一边作∠MDN＝90°，另一条边DN与边AC交于点F.下列结论中正确的结论是（）C①BE＝AF；②△DEF是等腰直角三角形；③无论点E，F的位置如何，总有EF＝DF＋CF成立；④四边形AEDF的面积随着点E，F的位置不同发生变化.A.①③B.②③C.①②D.①②③④2.马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下问题：如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等.在正方形A'B'C'O绕点O旋转的过程中，OA'与AB相交于点M，OC'与BC相交于点N，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系.图1（1）小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD面积的”.（2）马老师鼓励同学们编一道拓展题，小颖编了这样一道题：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC，若AC＝6，求四边形ABCD的面积.请你帮小颖解答这道题.图解：（2）如图，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E.∵AE⊥AC，∴∠EAC＝90°.∵∠DAB＝90°，∴∠DAE＝∠BAC.∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ADC＋∠B＝180°.∵∠EDA＋∠ADC＝180°，∴∠EDA＝∠B.在△ABC与△ADE中，∴△ABC≌△ADE（ASA）.∴AC＝AE.∵AC＝6，∴AE＝6.∴S△AEC＝×6×6＝18.∴S四边形ABCD＝18.3.如图，点P（3m－1，－2m＋4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上.（1）求点P的坐标.解：（1）∵点P（3m－1，－2m＋4）在第一象限的角平分线OC上，∴3m－1＝－2m＋4.∴m＝1.∴P（2，2）.①OA＋OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值.（2）当∠APB绕点P旋转时，（2）①不变.如图，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥OA于点N.∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，PM＝PN＝2，∴四边形OMPN是正方形.∴∠MPN＝90°＝∠APB.∴∠MPB＝∠NPA.在△PMB和△PNA中，∴△PMB≌△PNA（ASA）.∴BM＝AN.∴OB＋OA＝OM－BM＋ON＋AN＝2OM＝4.②8【解析】连接AB.∵∠AOB＝90°，∴OA2＋OB2＝AB2.∵∠BPA＝90°，∴AB2＝PA2＋PB2＝2PA2.∴OA2＋OB2＝2PA2，当PA最小时，OA2＋OB2也最小.根据垂线段最短原理知，PA的最小值为2.∴OA2＋OB2的最小值为8.②直接写出OA2＋OB2的最小值.背景2含120°的对角互补模型——全等型条件：∠AOB＝120°，∠DCE＝60°，OC平分∠AOB.思路分析：方法1：过点C向∠AOB的两边作垂线，垂足分别为点M，N.方法2：以点C为旋转中心，将直线CO逆时针旋转60°，得∠OCO'＝60°.模型方法1：作垂线方法2：旋转结论①CD＝CE；②OD＋OE＝OC；③S△COD＋S△COE＝OC2模型方法1：作垂线方法2：旋转结论①CD＝CE；②OE－OD＝OC；③S△COE－S△COD＝OC2模型方法1：作垂线方法2：旋转结论分析易证△CMD≌△CNE，四边形CMON由两个全等的直角三角形组成易证△COD≌△CO'E，△COO'是等边三角形总结：变的是背景，不变的是方法，学会举一反三模型应用4.如图所示，∠MAN＝60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上的一个定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E.（1）如图1所示，当点C在射线AN上时，图1①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明.解：（1）①结论：BC＝BD解：（1）②结论：AD＋AC＝BE.如图，作BG⊥AM于点G，BH⊥AN于点H.∴BG＝BH.∵∠ABE＝120°，∠BAE＝30°，∴∠BEA＝∠BAE＝30°.∴BA＝BE.∵BG⊥AE，∴AG＝GE，EG＝BE·cos30°＝BE.∵BG＝BH，BD＝BC，∴Rt△BGD≌Rt△BHC.∴DG＝CH.∵AB＝AB，BG＝BH，∴Rt△ABG≌Rt△ABH.∴AG＝AH.∴AD＋AC＝AG＋DG＋AH－CH＝2AG＝BE.∴AD＋AC＝BE.（2）如图2所示，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB＝4，AC＝，请直接写出线段AD的长.图2解：（2）AD＝5.5.小明在数学课外兴趣小组学习中遇到了一道题：如图1，已知∠MAN＋∠DCB＝180°，AC平分∠MAN，点B，D分别在AN，AM所在直线上.图1（1）如图2，若∠MAN＝120°，写出线段AB，AD，AC之间的数量关系并证明.（证明方法不限）图2解：（1）AB－AD＝AC理由如下：如图1，过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为点E，F.∴∠MAN＋∠ECF＝180°，∠CEA＝∠CFB＝90°.∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∴∠EAC＝∠FAC＝60°，CE＝CF.∴AC＝2AF＝2AE.∵∠MAN＋∠DCB＝180°，∴∠ECF＝∠DCB.∴∠ECD＝∠FCB.∴△CED≌△CFB（ASA）.∴ED＝FB.∴AB－AD＝AF＋FB－图1（2）如图3，△ABC为等边三角形，边长为4，点O为BC边的中点，∠EOF＝120°，其两边分别交AB和CA的延长线于点E，F，求AE－AF＝.图36【解析】如图2，连接OA，在BE上取点G，使得BG＝OB，连接OG.∵△ABC是等边三角形，点O是BC的中点，∴∠ABO＝60°，AO⊥BC.∵OB＝BG，∴∠BGO＝∠BOG＝∠OAG＝30°.∴∠AOG＝120°，OA＝OG.∵∠EOF＝120°，∴∠AOG＝∠EOF.∴∠AOF＝∠EOG.∵∠CAO＝∠OGA，∴∠OAF＝∠OGE.图2在△OAF和△OGE中，∴△OAF≌△OGE（ASA）.∴AF＝GE.∴AE－AF＝AG.过点O作OH⊥AG于点H.∴∠BOH＝30°.∴BH＝OB＝1.∴HG＝HB＋BG＝1＋2＝3.∴AG＝2AH＝2×3＝6.故答案为6.图2知识迁移：含90°的对角互补模型——相似型条件：∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝α.模型分析旋转易证△COD∽△CO'E作垂线易证△CMD∽△CNE结论CE＝CD·tanα模型应用6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为点E，直线EF交线段DC于点F，则＝（）A.B.C.D.B【解析】如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC.∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴∠BEF＝∠BCF＝90°.∵OB＝OF，∴OE＝OB＝OC＝OF.∴B，C，F，E四点共圆.∴∠EBF＝∠ECF.∴tan∠EBF＝tan∠ACD.∵AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∴＝＝.故选B.7.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF为斜边上的高，在射线AB上有一点D，连接DF，作∠DFE＝90°，FE交射线BC于点E.（1）【问题发现】如图1所示，如果AB＝CB，则DF与EF的数量关系为DFEF（填“＞”“＜”或“＝”）.＝图（2）【类比探究】如图2所示，如果改变Rt△ABC中两直角边的比例，使得AB＝2BC，则DF与EF还存在（1）中的关系吗？图2解：（2）不存在（1）中的关系，关系为DF＝2EF.理由如下：如图2所示，∵∠A＋∠ABF＝∠A＋∠C＝90°，∴∠ABF＝∠C.∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AFB.∴＝，即＝.∵∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠CBF＝90°，∴∠A＝∠CBF.图2∵∠AFD＋∠BFD＝∠BFD＋∠BFE＝90°，∴∠AFD＝∠BFE.在△ADF和△BEF中，∵∠A＝∠EBF，∠AFD＝∠BFE，∴△ADF∽△BEF.∴＝.∵＝，AB＝2BC.∴＝＝2.∴DF＝2EF.图2