2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础微专题6相似模型第四章三角形模型一“A”字模型模型名称正A型模型特征两个三角形满足有一个公共角∠A，且有一组对应边DE∥BC（或满足一组同位角∠1＝∠2），则△ADE∽△ABC.此模型称为“正A型”模型分析已知：∠1＝∠2（或间接给出DE∥BC），结论：△ADE∽△ABC图示模型练习1.（2023吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC点E.若AD＝2，BD＝3，则的值是（）A.B.C.D.A模型演变1模型名称反A型（斜A型）模型特征两个三角形满足有一个公共角∠A，且对应边DE与BC不平行，若∠1＝∠2，则△ADE∽△ABC.此模型称为“反A型”，也叫“斜A型”模型分析已知：∠1＝∠2，结论：△ADE∽△ABC图示模型练习2.（2022广元）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为（）A.B.3C.2D.A模型演变2模型名称反A型（斜A型）模型特征模型分析已知：∠1＝∠2，结论：△ADE∽△ABC模型练习3.如图，在△ABC中，点D为线段AB的中点，AE＝3EC，延长DE交BC的延长线于点F，则为（）A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3A模型演变3模型名称反A共边型（母子型）模型特征模型分析已知：∠1＝∠2，结论：①△ADE∽△ABC；②AC2＝AE·AB模型练习4.（2023内蒙古）如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F.下列结论：①CF平分∠ACD；②AF＝2DF；③四边形ABCF是菱形；④AB2＝AD·EF.其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）①③④模型特例模型名称双垂模型（母子型或射影定理型）模型特征模型名称双垂模型（母子型或射影定理型）模型分析已知：AC⊥BC，CD⊥AB，结论：①△ACD∽△ABC；②AC2＝AD·AB；③△BCD∽△BAC；④BC2＝BD·BA；⑤△ACD∽△CBD；⑥CD2＝AD·BD5.（2023湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高.（1）证明：△ABD∽△CBA；解：（1）证明：∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC.又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA.（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长.解：（2）由（1）知，△ABD∽△CBA.∴＝，即＝.∴BD＝3.6.模型二“8”字模型模型名称正8字型模型特征两个三角形满足有一组对顶角，且有一组对应边DE∥BC（或满足一组内错角∠1＝∠2），则△ADE∽△ABC.此模型称为“正8字型”模型分析已知：∠1＝∠2（或间接给出DE∥BC），结论：△ADE∽△ABC图示模型练习6.（2023雅安）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A.4B.6C.8D.10C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC.∴△DEF∽△BEC.∴＝.∵EF＝1，EC＝3，∴＝，即＝.∴＝.∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFG.∴＝.∵EF＝1，EC＝3，∴CF＝4.∴＝，即GF＝8.故选C.7.（2023巴中）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D，E分别为AC，BC中点，连接AE，BD相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2B【解析】连接DE.由D，E分别为AC，BC中点，可得DE＝AB＝3cm，DE∥AB.所以△DEF∽△BAF.故＝＝，＝＝.可得S△ABF＝S△ABE＝×AB·BE＝8（cm2）.故S△DEF＝S△ABF＝2（cm2）.又S△DEC＝DE·CE＝6（cm2），DG∶GC＝1∶2，可得S△DEG＝S△DEC＝2（cm2）.从而S四边形DFGE＝S△DEF＋S△DEG＝4（cm2）.故选B.模型演变模型名称反8字型（斜8字型或蝴蝶模型）模型特征两个三角形满足有一组对顶角，且对应边DE与BC不平行，若∠1＝∠2，则△ADE∽△ABC.此模型称为“反8字型”，也称为“斜8字型”或“蝴蝶模型”模型分析已知：∠1＝∠2，结论：①△ADE∽△ABC；②AD·AC＝AB·AE模型名称反8字型（斜8字型或蝴蝶模型）图示模型练习如图，∠C＝∠E，AC＝2，BC＝4，AE＝1.5，则DE＝.3模型三模型并联模型名称A8模型模型特征双“A”和双“8”模型分析已知：AB∥CD∥EF，结论：＋＝图示模型练习9.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是.1∶410.如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC的交点为点M.已知AB＝10m，CD＝15m，求点M离地面的高度MH.解：∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM.∴＝＝＝.∵MH∥AB，∴△MDH∽△ADB.∴＝＝，∴＝.解得MH＝6（m）.答：点M离地面的高度MH为6m.模型小结“A”字模型和“8”字模型是常见的相似模型，需要注意的是：若题中未明确相似三角形的对应顶点时，需进行分类讨论.除此之外，常见的相似模型还有旋转型相似（手拉手）（详见微专题7）、一线三等角（详见微专题8）等.