2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第23讲特殊的平行四边形第一节菱形第五章四边形知识通关考点通关本讲知识点在中招考试中是必考知识点，在三大题型中都有体现，考查方式有：①以菱形、矩形、正方形为背景，与三角形、函数、圆等结合，利用其性质结合三角函数、全等或相似等求线段的长、角度或点的坐标；②通过添加条件判定图形是特殊的平行四边形，或者在平行线、圆等背景下，探究特殊平行四边形的存在性问题；③以特殊的平行四边形为背景，结合旋转、平移、轴对称等图形变换，探究动态中某图形的变化规律，或在变化过程中某特殊情况存在时线段的长或点的坐标.考点一菱形的性质例1（2023乐山）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为BC边的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝（）BA.2B.C.3D.4跟踪训练如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝10.（1）菱形的周长为；（2）若∠ABC＝2∠BAD，则∠BAD＝，BD＝，AC＝；（3）若BD＝12，则菱形的面积为，DF＝.4060°1010969.6变式训练（2022河南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点.若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（）A.6B.12C.24D.48C考点二菱形的判定例2（2023齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：，使四边形ABCD成为菱形.AD∥BC（AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等）跟踪训练（2023沈阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F，连接BF，CE，求证：四边形BECF是菱形.证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD垂直平分BC.∴EB＝EC，FB＝FC.∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD.∵DB＝CD，∴△EBD≌△FCD（AAS）.∴BE＝FC.∴EB＝BF＝FC＝EC.∴四边形EBFC是菱形.考点三菱形背景中线段的计算例3（2023金昌）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝cm.2本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键.根据菱形的对角线平分一组对角，由∠DAB＝60°得∠DAF＝∠BAE＝30°，然后在Rt△ABE中可求得AE＝4，△ADF中可求得AF＝2，进而得到EF＝AE－AF＝2.考点四菱形背景中图形的变换与动点问题例4如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P为线段BD上的一个动点，则MP＋PB的最小值是.4根据学习的“将军饮马”模型，求线段和的最小值，当定点在动点两侧时，当三点共线时即为最小时的状态，题目中出现PB，则需要将PB转化成某条线段，题目中易得∠OBC＝30°，则想到30°角所对的直角边是斜边的一半，于是辅助线即可得到，根据“将军饮马”模型即可得到答案.跟踪训练（2022赤峰）如图，菱形ABCD的顶点A，B，C，D均在坐标轴上.∠ABC＝120°，点A（－3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD＋PE的最小值是（）A.3B.5C.2D.A例5如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠A＝60°，点E为边AD的中点，点F为射线AB上一动点，连接EF，把△AEF沿EF折叠，得到△A'EF，当A'F与菱形的边垂直时，线段AF的长为.3＋3或12－6或12＋6本题考查了轴对称变换和分类讨论，首先根据题意画出符合题意的图形，在一般三角形中通过作辅助线构造直角三角形，通过翻折中线段长度相等，表示直角三角形中的边的长度，构造方程解方程可解决问题.跟踪训练如图，在菱形ABCD中，AB＝8cm，∠A＝60°.点E，F分别在边AD，AB上，且DE＝2cm.将△AEF沿EF翻折，使点A落在对角线BD上的点A'处，则＝.