2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第24讲圆的概念及性质第六章圆知识通关考点通关素养通关0本讲内容的知识点比较多，包括圆的相关概念及性质，垂径定理及推论、圆周角定理及推论，弧、弦、圆心角之间的关系.圆周角定理及推论是中考热点，既可以以选择题、填空题的形式出现，又可以与圆切线的性质结合出现在解答题中.需要重视，分值一般为3～9分.（注：垂径定理及其推论2022年课程标准修改为必学内容）考点一与圆有关的概念与性质例1（2022北京期末）圆形的井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是利用了圆特征中的（）A.圆是中心对称图形B.同一圆中所有直径都相等C.圆有无数多条对称轴D.圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小B圆的两个要素：圆心和半径.圆心的作用是决定圆的位置，而半径的作用是决定圆的大小.本题中圆形井盖怎么放都不会掉到井里，是考查半径的作用.跟踪训练（2023江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A.3个B.4个C.5个D.6个D考点二垂径定理及其推论例2如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与☉O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）CA.AG＝BGB.AB∥EFC.AD∥BCD.∠ABC＝∠ADC本题综合考查了垂径定理，切线的性质，弧、弦、圆心角的关系.垂径定理的内容可以描述为：如果一条直径满足：①过圆心；②垂直于弦，那么可得到结论：③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.由垂径定理可知A项正确.用排除法可得出答案.考点三圆周角定理及其推论（10年7考）例3（2022江西）【课本再现】（1）在☉O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类，图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其他两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝∠AOB；解：（1）①如图1，连接CO，并延长CO交☉O于点D.∵OA＝OC＝OB，∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO.∵∠AOD＝∠A＋∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B＋∠BCO＝2∠BCO，∴∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝2∠ACO＋2∠BCO＝2∠ACB.∴∠ACB＝∠AOB.图1∵∠AOD＝∠A＋∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B＋∠BCO＝2∠BCO，∴∠AOB＝∠AOD－∠BOD＝2∠ACO－2∠BCO＝2∠ACB.∴∠ACB＝∠AOB.如图2，连接CO，并延长CO交☉O于点D.∵OA＝OC＝OB，∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO.图2【知识应用】（2）如图4，若☉O的半径为2，PA，PB分别与☉O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长.（2）如图3，连接OA，OB，OP.∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°.∵PA，PB分别与☉O相切于点A，B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝（180°－120°）＝30°.∵OA＝2，∴OP＝2OA＝4.∴PA＝＝2.图3本题考查了圆周角定理和切线的性质，圆周角定理的证明要用到分类讨论的思想方法.（1）①如图1，当圆心O在∠ACB的内部时，作直径CD，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图2，当圆心O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可得结论；（2）如图3，先根据（1）中的结论可得∠AOB＝120°，由切线的性质可得∠OAP＝∠OBP＝90°，可得∠OPA＝30°，从而求得PA的长.跟踪训练（2023河南）如图，点A，B，C在☉O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（）A.95°B.100°C.105°D.110°D考点四弧、弦、圆心角之间的关系定理例4（2023深圳）如图，在☉O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与☉O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝°.35本知识点常常与圆周角定理综合应用来解决问题.“同弧或等弧”是联系圆周角和圆心角的桥梁.跟踪训练（2023随州）如图，在☉O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为.30°变式训练（2023四川）如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（）CA.56°B.33°C.28°D.23°【解析】∵∠BOD＝124°，∴∠AOD＝180°－124°＝56°.∴∠ACD＝∠AOD＝28°.故选C.1.图1为一枚宋代古钱币，从中抽象出等大的方孔圆形（如图2），蕴含着“天圆地方”的思想，这一铸钱形制在中国古代延用了二千多年.图1图2（1）用数学的眼光观察，图2；A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形C（2）请你用直尺，在图2中作出圆心O；（不写作法，保留作图痕迹）解：（2）如图2，点O即为所求.图2（3）古钱币的直径是鉴定其真伪的重要依据，已知这种钱币真品的直径为3.6cm，允许误差±0.2cm，直径超出此范围的钱币为伪品.如图3，可用一把三角尺测量该钱币的直径，将直角顶点A放在其上，三角尺的两直角边与圆分别交于点B，C，测得AB＝2cm，AC＝3cm，判断这枚古钱币的真伪，并说明理由.图∵∠BAC＝90°，∴BC是直径.∴BC＝＝＝≈3.6（cm）.∴这枚古钱币是真品.解：（3）如图3，连接BC.图3本题考查了圆的基本概念与简单作图、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是理解圆既是中心对称图形又是轴对称图形的性质，同时用到了90°的圆周角所对的弦是直径.两条直径的交点即为圆心的位置.素养落地应用意识、作图能力2.（2023常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB.“会圆术”给出长l的近似值s的计算公式：s＝AB＋，当OA＝2，∠AOB＝90°时，｜l－s｜＝.（结果保留一位小数）0.1【解析】如图，连接OC.∵AO＝2，∠AOB＝90°，∴OB＝2，AB＝2.∵C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB，∴CO⊥AB，即D，C，O三点共线.∴CO＝，CD＝2－.∵s＝AB＋，∴s＝2＋＝3.∵l＝2π×2×≈3.1，∴｜l－s｜≈0.1.故答案为0.1.素养落地应用意识、数学文化