初中数学2022年10月09日学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数中，无理数是（）A．B．C．D．2．的平方根是（）A．4B．-4C．2D．±23．下列运算正确的是（）A．a•a2＝a3B．（a2）3＝a5C．（﹣2a）2＝2a2D．（12a2﹣3a）÷3a＝4a4．下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为（）A．B．C．D．5．下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等腰三角形都全等6．下列各式中，正确的是（）A．B．C．D．7．下列计算正确的是（）A．B．试卷第1页，共3页XC．D．8．已知多项式，把它加上下列单项式后不可以用完全平方公式进行因式分解的是（）A．xB．-xC．D．9．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（）A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤710．在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n1﹣）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（）A．45B．63C．54D．不确定二、填空题11．若，则___________．12．已知，满足方程，则______．13．如果成立，则的值为________．14．已知，若，则＝_____．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为_____．试卷第2页，共3页X三、解答题16．计算17．先简化，再求值．[（ab＋1）（ab－2）－（2ab）2＋2]÷（－ab），其中a＝（－），b＝－2021．18．（1）用等号或不等号填空，比较4x＋1与x2＋5的大小：①当x＝－1时，4x＋1____x2＋5；②当x＝0时，4x＋1____x2＋5；③当x＝2时，4x＋1____x2＋5；试猜想：无论x取何值，4x＋1____x2＋5，请说明理由．（2）已知：，求的值．19．在分解因式时时，甲看错了a的值，分解的结果是；乙看错了b的值，分解的结果是．那么分解因式正确的结果是多少？为什么？20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为边作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．试卷第3页，共3页X(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)若AB＝5cm，则BE＝cm．(3)BE与AD有何位置关系？请说明理由．21．如图，在中，，，是斜边上的一点，于，交的延长线于．(1)求证：≌；(2)求证：．22．如图，在△ABC中，BAC是钝角，完成下列画图．(1)BAC的平分线AD；(2)AC边上的中线BE；(3)AC边上的高BF；23．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为（s）．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当=1时，△ACP△BPQ是否全等？PC与PQ是否垂直？请分别说明理由；(2)如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB于A，BD⊥AB于B”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为cm/s，是否存在实数，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．试卷第4页，共3页X参考答案：1．B【分析】根据无理数的定义逐项进行判断即可．【详解】解：，，都是有理数，是无理数，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义，无限不循环小数为无理数．2．D【分析】先求出，再根据平方根的性质，即可求解．【详解】解：∵，∴的平方根是．故选：D【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，求平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．3．A【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方及多项式除以单项式运算法则逐项进行计算即可得出答案．【详解】解：A．，故此选项符合题意；B．，故此选项不合题意；C．（﹣2a）2＝4a2，故此选项不合题意；D．，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则进行计算是解决本题的关键．4．C【分析】根据因式分解的定义，即可求解．答案第1页，共2页X【详解】解：AD.等号右边都不是积的形式，所以不是因式分解，故AD不符合题意；B.左边不是多项式，所以不是因式分解，故B不符合题意；C.符合因式分解的定义，故C符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程是解题的关键．5．C【分析】利用三角形全等的定义及性质解题即可．【详解】解：A．形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；B．面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；C．完全重合的两个三角形全等，正确；D．两个腰不相等的等腰三角形不全等，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的性质及定义，熟知三角形全等的定义是解题关键．6．B【分析】根据单项式乘法和同底数幂乘法法则计算并判定A；根据幂的乘方和同底数幂的除法法则计算并判定B；根据积的乘方和幂的乘方计算并判定C；根据平方差公式计算并判定D．【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；B、，计算正确，故此选项符合题意；C、，原计算错误，故此选项不符合题意；D、，原计算错误，故此选项不符合题意故选：B．【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握整式的运算法则计：单项式乘法和同底数幂乘法法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，积的乘方法则，平方差公式是解题词的关键．7．D【分析】根据单项式乘以多项式，多项式除以单项式，完全平方公式逐项计算分析即可求解．答案第2页，共2页X【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；B.，故该选项不正确，不符合题意；C.，故该选项不正确，不符合题意；D.，故该选项正确，符合题意．故选D．【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，多项式除以单项式，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．8．D【分析】根据完全平方公式即可一一判定．【详解】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题；D、不能用完全平方式进行因式分解，故D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握和运用利用完全平方公式进行因式分解是解决本题的关键．9．C【分析】先延长AD到E，且AD=DE，并连接CE，利用SAS易证△ADB≌△EDC，从而可得AB=CE，在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得AC-CE＜AE＜AC+CE，从而易求1＜AD＜7．【详解】解：如图，延长AD至点E，使AD=DE，连接CE，答案第3页，共2页X∵AD是边BC上的中线，∴CD=BD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED，∴AB=CE=6，在△ACE中，8-6<AE<6+8，即2<AE<14，1∴＜AD＜7，故选：C．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键．10．B【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案．【详解】解：根据题意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m），∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m），∴x[（n3+1﹣）x+]＝x（9x+m），∴n2﹣＝9，m＝，∴n＝11，m＝63．故选：B．【点睛】本题考查了新定义，根据条件和新定义列出方程是解题的关键．11．15【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性．求出x，y的值，再代入计算即可．答案第4页，共2页X【详解】解：∵，∴，解得：，∴，故答案是：．【点睛】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，准确计算是解题的关键．12．16【分析】利用幂的乘方公式，同底数幂的乘法公式进行计算，即可得出答案．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方公式，同底数幂公式是解决问题的关键．13．1【分析】根据多项式乘多项式的运算法则可得，接下来与已知等式对比可得，据此求出k值．【详解】解：∵，∴，∴−1=−k，答案第5页，共2页X∴k=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查多项式的乘法，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．14．2•2．【分析】由题意可得，求出＝[1]•[1]•…•（1），再利用平方差公式（1）＝[1]•[1]•…•（1）•（1），求出＝2•2，即可求解．【详解】解：∵＝•[1]，∴，∴•••…•[1]•[1]•…•（1），∵，∴＝[1]•[1]•…•（1），∴（1）＝[1]•[1]•…•（1）•（1），∴＝1，∴＝2•2，∴＝2•2，故答案为：2•2．【点睛】本题考查数字的变化规律，将已知式子进行变形，灵活应用平方差公式是解题的答案第6页，共2页X关键．15．4【分析】根据题意过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ=FN，连接PJ，进而利用全等三角形的性质证明EF=EM+EN，即可得出结论．【详解】解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ．∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，∴PM＝PK，PK＝PN，∴PM＝PN，∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，∴四边形PMCN是矩形，∴四边形PMCN是正方形，∴CM＝PM，∴∠MPN＝90°，在△PMJ和△PNF中，，∴△PMJ≌△PNF（SAS），∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，∴∠JPF＝∠MPN＝90°，∵∠EPF＝45°，∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，在△PEF和△PEJ中，答案第7页，共2页X，∴△PEF≌△PEJ（SAS），∴EF＝EJ，∴EF＝EM+FN，∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2EM＝2PM，∵S△ABC＝•BC•AC＝（AC+BC+AB）•PM，∴PM＝2，∴△ECF的周长为4，故答案为：4．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问．16．1【分析】根据实数的运算法则计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握相关法则和公式是解题的关键．17．；【分析】先按照整式乘除法法则进行化简，在代入数值计算即可．【详解】解：原式当，时，原式【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练运用整式乘除法法则进行化简，代入数值后准确进行计算．答案第8页，共2页X18．（1），，，；（2）．【分析】（1）将的值分别代入左右两代数式计算即可做出比较；，利用完全平方公式证明即可；（2）先移项，利用完全平方公式变形求解．【详解】解：（1）①当时，；，即；②当时，，，即；③当时，，，即；猜想无论x取何值，，理由为：证明：，，当且仅当时取等号，故答案为：，，，；（2）解：，，解得：，．【点睛】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，以及代数式求值，解题的关键是熟练掌握公式．19．，理由见解析【分析】根据甲、乙看错的情况下得出a、b的值，进而再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：∵∴∵答案第9页，共2页X∴∴【点睛】本题考查了多项式的乘法与因式分解，正确的计算是解题的关键．20．(1)见解析(2)10(3)BE⊥AD，理由见解析【分析】（1）利用等腰三角形证明角度相等，用SAS证明三角形全等即可．（2）利用三角形全等的性质得到线段相等即可得出答案．（3）利用三角形全等的性质得到角度相等，再通过互余证明垂直即可．（1）证明：∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝90°，∴CD＝CE，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：∵DB＝AB，AB＝5cm，∴AD＝2AB＝10cm，由（1）得：△ACD≌△BCE，∴BE＝AD＝10cm；故答案为：10；（3）解：BE⊥AD；理由如下：答案第10页，共2页X如图，BE交CD于点O，由（1）得：△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵∠EOC＝∠DOB，180°∴∠﹣EOC﹣∠BEC＝180°﹣∠DOB﹣∠ADC，∴∠DBE＝∠DCE＝90°，∴BE⊥AD．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质求角度及线段的等量关系，了解并能熟练运用手拉手模型证明三角形全等是解题关键．21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由“”可证≌；（2）由“”可证≌，可得，，可得结论．（1）证明：，，，，，，，，在与中，答案第11页，共2页X，≌；（2）证明：，，，，，，，，在与中，，≌，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．22．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用角平分线的作法得出即可；（2）首先作出线段AC的垂直平分线得出E为中点，进而得出中线；（3）延长CA，进而过点B作BF⊥CA即可．（1）如图所示：AD即为所求；答案第12页，共2页X（2）如图所示：BE即为所求；（3）如图所示：BF即为所求．【点睛】本题考查了作角平分线，线段的垂直平分线，掌握三角形的高、中线，角平分线的定义是解题的关键．23．(1)△ACP≌△BPQ，线段PC与线段PQ垂直，理由见解析(2)存在或，使得△ACP与△BPQ全等【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由∠A=∠B，△ACP和△BPQ全等，则分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．（1）解：当t=1时，AP=BQ=1cm，∵AB=4cm，∴BP=AB-AP=3cm，又AC=3cm，∴BP=AC又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，答案第13页，共2页X，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）存在，理由：由题意，得AC=3cm，AP=tcm，BP=(4-t)cm，BQ=xtcm.①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，则，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，则，解得：；综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．【解答】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．答案第14页，共2页X答案第15页，共2页X