初中数学2022年10月09日学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数：，，，，，，其中无理数有（）A．个B．个C．个D．个2．当时，的值为（）A．B．C．D．3．若，，则的值为（）A．1B．2C．3D．4．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．B．C．D．5．下列命题中，真命题是（）A．相等的角是对顶角B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等D．同旁内角互补6．下列运算正确的是（）A．B．C．D．7．边长分别为a和b（其中）的两个正方形按如图摆放，则图中阴影部分的面积为（）试卷第1页，共3页XA．B．2abC．D．8．已知多项式，把它加上下列单项式后不可以用完全平方公式进行因式分解的是（）A．xB．-xC．D．9．如图，点是的边的中点，过点作，连接并延长，交于点，若，，则的长为（）A．2B．2.5C．3D．4.510．在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n1﹣）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（）A．45B．63C．54D．不确定二、填空题11．如果=3.873，=1.225，那么=______．12．若，，则______．试卷第2页，共3页X13．如果成立，则的值为________．14．计算：______．15．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，，交CD延长线于点F，的平分线AG分别交直线BC，EF，CD于点G，M，N，连接FN，DM．则下列结论中：①；②；③若，则；④，正确的有______．（只填序号）三、解答题16．（1）已知，求x的值．（2）17．计算：（1）（2）18．先化简，再求值：，其中x=-1，y=-0.5．19．因式分解：(1)(2)(3)试卷第3页，共3页X(4)20．如图，已知△ABC，点D在边AB上．(1)求作点D，使点D到点B，C的距离相等；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)连接DC，已知∠B＝32°，求∠ADC的度数．21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．(1)若∠DAC＝20°，求∠FDC的度数；(2)试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．22．如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：(1)线段BC的长；(2)若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积．23．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)【模型呈现】如图，AD为的中线，交AD的延长线于点E，求证：．试卷第4页，共3页X(2)【模型应用】如图，在四边形ABCD中，，E是BC中点，连接AE，DE，AE平分，求证：DE平分．(3)【拓展探索】如图，在中，，于点D，过点B作交的平分线于点E，过点E作交BC于点F，若，求证：．试卷第5页，共3页X参考答案：1．B【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】解：，，这是整数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；无理数有，，，共有个．故选：B．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．2．A【分析】直接将x值代入求解即可．【详解】解：当时，，故选：A．【点睛】本题考查求一个数的算术平方根、有理数的乘方，熟知算术平方根是非负数是解答的关键．3．C【分析】利用平方差公式计算即可.【详解】解：，故选：C【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答此题的关键.4．C【分析】根据因式分解的定义，即可求解．【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B、，不是因式分解，故本选项不符合题意；C、，是因式分解，故本选项符合题意；答案第1页，共2页XD、，不是因式分解，故本选项不符合题意；【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．5．B【分析】利用对顶角的定义、平行线的判定与性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意；B、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，符合题意；C、缺少条件“两条平行直线”，故错误，是假命题，不符合题意；D、缺少条件“两条平行直线”，故错误，是假命题，不符合题意．故选：B．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、平行线的判定与性质等知识，难度不大．6．B【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；B、，选项正确，符合题意；C、，选项错误，不符合题意；D、，选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方以及完全平方公式，熟记相关运算法则是解答本题的关键．7．A【分析】由图形可得，阴影部分的面积为大正方形面积加梯形面积再减去直角三角形的面积，即可求解．答案第2页，共2页X【详解】解：由图形可得，阴影部分的面积为大正方形面积加梯形面积再减去直角三角形的面积，即：，故选：A【点睛】此题考查了整式的加减乘除运算，涉及了平方差公式，解题的关键是将阴影部分的面积转化为规则图形的面积．8．D【分析】根据完全平方公式即可一一判定．【详解】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题；D、不能用完全平方式进行因式分解，故D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握和运用利用完全平方公式进行因式分解是解决本题的关键．9．C【分析】根据平行线性质得出，，求出，再根据证，得，即可得出结论．【详解】证明：∵，∴，，∵点为的中点，∴，在和中，答案第3页，共2页X，∴，∴，∵，∴，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．10．B【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案．【详解】解：根据题意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m），∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m），∴x[（n3+1﹣）x+]＝x（9x+m），∴n2﹣＝9，m＝，∴n＝11，m＝63．故选：B．【点睛】本题考查了新定义，根据条件和新定义列出方程是解题的关键．11．0.1225【分析】根据根号下的数字每缩小100倍，所得的结果就缩小为原来的，即可得出答案．【详解】解：∵=1.225，∴0.1225；故答案为：0.1225．【点睛】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是本题的关键，是一道基础题．12．2022【分析】根据平方差公式，即可求解．答案第4页，共2页X【详解】解∶∵，，∴．故答案为：2022【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．13．1【分析】根据多项式乘多项式的运算法则可得，接下来与已知等式对比可得，据此求出k值．【详解】解：∵，∴，∴−1=−k，∴k=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查多项式的乘法，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．14．【分析】先将原式变形为，再对括号内每项进行因式分解，再进行计算即可．【详解】原式．故答案为：．答案第5页，共2页X【点睛】本题考查了运用平方差分式进行计算，解决本题的关键是要熟练掌握会运用乘法公式进行简便计算．15．②③④【分析】先证明△ABE≌△ADF，可得DF=BE，AF=AE，再由AG平分∠EAF，可得AM⊥EF，从而得到∠DAN=∠AGB=∠CFE，然后正方形的边长为a，BE=m，则CE=a-m，DF=m，CF=a+m，利用锐角三角函数，可得，从而得到，，进而得到，①当a=2，m=1时，，此时CG≠FN，故①错误；③若，可得a=3m，从而得到，，故③正确；②连接CM，根据直角三角形的性质可得EF=2AM，EF=2CM，从而得到AM=CM，可证得△ADM≌△CDM，故②正确；④根据题意可得，再由，可得，从而得到，进而得到，再由，故④正确，即可求解．【详解】解∶在正方形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠BAD=∠B=∠ADF=∠ECF=90°，∵AF⊥AE，即∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△ABE≌△ADF，∴DF=BE，AF=AE，∵AG平分∠EAF，∴AM⊥EF，∴∠EMG=∠BCD=90°，∵∠FEC=∠MEG，∴∠CFE=∠AGB，答案第6页，共2页X∵AD∥BC，∴∠DAN=∠AGB，∴∠DAN=∠AGB=∠CFE，正方形的边长为a，BE=m，则CE=a-m，DF=m，CF=a+m，∴，∴，即，解得：，∴，，∵，∴，解得：，①当a=2，m=1时，，此时CG≠FN，故①错误；∵，∴AB=BC=CD=3BE，即a=3m，∴，，∴，故③正确；②如图，连接CM，∵AG平分∠EAF，∴AM⊥EF，∴∠FMG=∠FCG=90°，∵AE=AF，答案第7页，共2页X∴EM=FM，∴AG垂直平分EF，∴EG=FG，∴EF=2AM，EF=2CM，∴AM=CM，∵AD=CD，DM=DM，∴△ADM≌△CDM，∴∠ADM=∠CDM，故②正确；∵∠EAF=90°，EM=FM，∴AM=FM=EM，∵AN=AM+MN，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故④正确；∴正确的有②③④．故答案为：②③④【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，是中考的常见题型，熟练掌握正方形的性质，直角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．16．（1）（2）答案第8页，共2页X【分析】（1）先把方程化为，然后再根据平方根的定义求解；（2）首先计算开方、绝对值，然后从左到右依次计算即可．【详解】（1）（2）【点睛】本题考查了实数的运算和平方根，掌握平方根的定义是解题关键．17．（1）0（2）【分析】（1）根据幂的乘方、同底数幂的乘法计算；（2）根据积的乘方、同底数幂的除法进行计算．【详解】解：（1）（2）答案第9页，共2页X【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．18．，【分析】先计算乘法，再合并，然后把x=-1，y=-0.5代入化简后的结果，即可求解．【详解】解：当x=-1，y=-0.5时，原式．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．19．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解；（2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解；（3）先提公因式，，然后根据平方差公式因式分解；（4）先提公因式，即可求解．（1）解：原式＝；答案第10页，共2页X（2）解：原式＝；（3）解：原式＝；（4）解：原式．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．20．(1)见解析(2)64°【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于点D．（2）利用三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质求解即可．（1）如图，点D即为所求；（2）∵DB＝DC，∴∠B＝∠DCB＝32°，∴∠ADC＝∠DBC＋∠DCB＝32°＋32°＝64°．答案第11页，共2页X【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．21．(1)70°(2)∠AED＝2∠B，理由见解析【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝∠ADB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝DF，求得∠ADF＝∠DAF＝20°，于是得到∠FDC的度数；（2）根据平行线的判定定理得到EFBC，根据平行线的性质定理得到∠AEF＝∠B，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝DE，由等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠DEF，于是得到结论．（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAF＝20°，∴∠FDC＝90°20°﹣＝70°；（2）∠AED＝2∠B，理由：∵AD⊥BC，EF⊥AD，∴EFBC，∴∠AEF＝∠B，∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，∴∠AEF＝∠DEF，∴∠B＝∠AEF＝∠DEF，∴∠AED＝2∠B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．22．(1)5答案第12页，共2页X(2)10a【分析】（1）分析题意，易证得△ADE≌△ADC，则有CD＝DE，而BC＝BD＋DC可求BC的长；（2）根据题意画出图形，利用三角形的面积公式即可得出结论．（1）解：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD在△ADE和△ADC中∵，∴△ADE≌△ADC（SAS）∴DE＝DC，∴BC＝BD＋DC＝BD＋DE＝2＋3＝5（cm）；（2）解：如图，∵∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是a，∴S△ABC＝S△AOC＋S△AOB＋S△BOC＝×6a＋×9a＋×5a＝3a＋a＋a＝10a．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．23．(1)证明见解析答案第13页，共2页X(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)根据平行线的性质可得，根据AD为的中线，可得，据此即可证得，即可证得结论；(2)过点E分别作于点F，于点G，交DC的延长线于点H，首先由角平分线的性质可得，再根据垂直的定义及平行线的性质，可证得，，据此即可证得，即可证得结论；(3)延长AB交FE延长线于点G，过点G作交CB的延长线于点H，首先由，AE平分，可得，可求得，据此即可证得，可得，，可证得，，据此可证得，，，再根据斜边直角边定理，可证得，据此即可证得结论．（1）证明：∵，∴∵AD为的中线，∴，在和中，∴，∴．答案第14页，共2页X（2）证明：如图，过点E分别作于点F，于点G，交DC的延长线于点H．又∵AE平分，∴，∵，∴，∵，∴，，∴在和中，∴，∴，∴，∴DE平分；（3）证明：如图，延长AB交FE延长线于点G，过点G作交CB的延长线于点H．答案第15页，共2页X∵，AE平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，在和中，∴，∴，，又∵，，∴，∵，，∴，在和中，答案第16页，共2页X∴，∴，，在和中，∴，∴，∴，即，∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义、判定及性质，作出辅助线是解决本题的关键．答案第17页，共2页X