初中数学2022年10月09日学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数中，没有算术平方根的是（）A．0B．-32C．（-3）2D．32．的算术平方根是（）A．2B．±2C．4D．±43．已知-4a与一个多项式的积是，则这个多项式是（）A．B．C．D．4．已知是一个完全平方式，则常数k为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣45．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝2，则BC的长是（）A．6B．7C．8D．96．若一个多项式的平方的结果为，则()A．B．C．D．7．下列运算中正确的是（）A．B．C．D．8．下列各式的因式分解中正确的是（）A．B．试卷第1页，共3页XC．D．9．如图，点是的边的中点，过点作，连接并延长，交于点，若，，则的长为（）A．2B．2.5C．3D．4.510．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（）A．4B．4.5C．5D．5．5二、填空题11．计算：______．12．计算＝_____．13．若关于x的多项式展开后不含x的一次项，则_____________．14．如果，那么的值为______．15．图的4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC全等的格点三角形一共有_____个．试卷第2页，共3页X三、解答题16．（1）（2）17．先化简，再求值：，其中，.18．两个边长分别为和的正方形（）如图放置（图，，），若阴影部分的面积分别记为，，．(1)用含，的代数式分别表示，，；(2)若，，求的值；(3)若对于任意的正数、，都有（为常数），求，的值．19．阅读下列解答过程，然后回答问题：已知有一个因式，求k的值．解：设另一个因式为，则试卷第3页，共3页X．即（对任意实数x成立）由此得：∴(1)已知有一个因式，则另一个因式为_______________；(2)已知有一个因式，则m的值为________________；(3)已知多项式有一个因式，求k的值．20．如图①，在△ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD．以A为直角顶点且在AD的上方作等腰直角△ADF．(1)若AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（不与点B重合），试探究CF与BD的数量关系和位置关系并证明；②如图②，当点D在线段BC延长线上时，①中的结论仍然成立吗？请说明理由；(2)若AB≠AC，∠BAC=120°，∠BCA=45°，点D在线段BC上运动，请利用图③，试探究CF与BD的位置关系并证明（只需证明一种情况）．试卷第4页，共3页X21．如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：(1)线段BC的长；(2)若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积．22．如图，已知△ABC≌△DEF，AF＝5cm．（1）求CD的长．（2）AB与DE平行吗？为什么？解：（1）∵△ABC≌△DEF（已知），∴AC＝DF（），∴AC﹣FC＝DF﹣FC（等式性质）即＝∵AF＝5cm∴＝5cm（2）∵△ABC≌△DEF（已知）∴∠A＝（）∴AB（）试卷第5页，共3页X23．（1）模型的发现：如图1，在中，，，直线经过点，且、两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点，．请直接写出、和的数量关系．（2）模型的迁移1：位置的改变如图2，在（1）的条件下，若，两点在直线的异侧，请说明、和的关系，并证明．（3）模型的迁移2：角度的改变如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明、和的关系，并证明．试卷第6页，共3页X参考答案：1．B【分析】根据算术平方根的意义，负数没有算术平方根，即可求解．【详解】∵负数没有平方根，也就没有算术平方根，A.0∴有算术平方根，是0，故本选项不符合题意；B.-32=-9，是负数，没有算术平方根，故本选项符合题意；C.(-3)2=9有算术平方根，是3，故本选项不符合题意；D.3有算术平方根，是，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了算术平方根的定义，掌握负数没有算术平方根是解题的关键．2．A【分析】根据算术平方根的性质，即可求解．【详解】解：∵，∴的算术平方根是，故选：A．【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．3．D【分析】根据-4a与一个多项式的积是得出这个多项式为，计算即可．【详解】解：根据题意得这个多项式为：，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则，是解题的关键．4．C【分析】根据完全平方式的一般结构求解即可．答案第1页，共2页X【详解】解：∵=是一个完全平方式，∴，故选：C．【点睛】本题考查完全平方式，熟知完全平方式的结构特征是解答的关键．5．B【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝5，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝5，∴EB＝EA＝5，∴BC＝EB＋EC＝5＋2＝7，故选：B．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．6．D【分析】根据完全平方式，可得出答案．【详解】解：依题意是完全平方公式，，，．故选D．【点睛】本题考查完全平方式，熟记完全平方式的形式，找出公式中的a和b是解题的关键．7．C【分析】根据完全平方公式即可判断A；根据合并同类项法则即可判断B；根据积的乘方即可判断C；根据多项式乘以单项式的计算法则即可判断D．【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；B、与不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；答案第2页，共2页XC、，计算正确，符合题意；D、，计算错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方，合并同类项，多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．8．D【分析】根据提公因式法，先提取各个多项式中的公因式，再对余下的多项式进行观察，能分解的继续分解．【详解】A－a2+ab－ac=－a(a-b+c)，故本选项错误；B9xyz－6x2y2=3xy(3z－2xy)，故本选项错误；C3a2x－6bx+3x=3x(a2－2b+1)，故本选项错误；D，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查提公因式法分解因式，准确确定公因式是求解的关键．9．C【分析】根据平行线性质得出，，求出，再根据证，得，即可得出结论．【详解】证明：∵，∴，，∵点为的中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，答案第3页，共2页X∴，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．10．B【分析】设A、B正方形的面积分别为a、b，则边长分别为、,再根据题意列式求得、，然后根据a+b=计算即可．【详解】解：设A、B正方形的面积分别为a、b，则边长分别为、由图甲可得：由图乙可得：，即：a+b=．故选B．【点睛】本题主要考查了完全平方公式在图形面积中的应用，根据图形列出等量关系是解答本题的关键．11．##【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的定义、算术平方根的定义分别化简，进而得出答案．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．答案第4页，共2页X12．【分析】利用积的乘方的逆运算进行计算，即可得出答案．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握积的乘方的逆运算是解决问题的关键．13．##0.5【分析】先运用多项式乘以多项式法则展开，再按字母x合并同类项，然后根据展开后不含x的一次项，即含x的一次项系数为0，求解即可．【详解】解：(ax-1)(x+2)=ax2+2ax-x-2=ax2+(2a-1)x-2，∵多项式展开后不含x的一次项，2∴a-1=0，解得：a=，故答案为：．【点睛】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式展开后不含某项，即该项系数为0是解题的关键．答案第5页，共2页X14．-3【分析】将已知等式左边配方得出，利用非负数的性质求出、，代入计算即可．【详解】解：∵，∴，，，，∴,故答案为：．【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，求出、的值是解题的关键．15．31【分析】如图，将△ABC作如下变换，①直接平移，网格中与△ABC全等的格点三角形有3种情况，②根据大正方形的的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应，③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况，综合①②③即可求得答案．【详解】①直接平移，网格中与△ABC全等的格点三角形有3种情况，如图，②根据大正方形的的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应，一共有4×4=16种情况，答案第6页，共2页X③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况综上所述，一共有3+16+12=31个故答案为：31【点睛】本题考查了轴对称，平移，全等三角形，根据平移再找对称，分类讨论是解题的关键．16．（1）6；（2）【分析】（1）根据绝对值、立方根、平方根的性质对每个式子进行化简，然后计算即可；（2）根据立方根、平方根的性质对每个式子进行化简，然后计算即可．【详解】解：（1）（2）答案第7页，共2页X【点睛】此题考查了实数的混合运算，涉及了平方根、立方根以及绝对值，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．17．,原式.【分析】利用整式混合运算法则计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式，当，时，原式.【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．(1)；；(2)(3)，【分析】（1）图1中，直接求出阴影的边长，都是a-b；图2中，两个正方形的面积的和减去两个白色三角形的面积的和；图3中，阴影部分是直角三角形，直接用直角边长的乘积除以2．（2）把，，代入（1）中，便可解出，再根据完全平方公式的变形，即可求解；（3）把（1）中的三个等式代入，经过整理，即可求解．答案第8页，共2页X（1）解：图中，阴影的边长都是，所以；图中，阴影面积；图中，．（2）解：当，时，，解得，，∴，（3）解：因为；；．对于任意的正数、，都有为常数，∴，整理得：，由于，为常数，故由待定系数法得：，，解得，．【点睛】本题考查完全平方公式与正方形相结合解决问题的能力，（3）问，考查式子的变形能力，从而求得m，k值．19．(1)-17(2)-2答案第9页，共2页X(3)4【分析】（1）利用题目中已知的方法求解即可；（2）利用题目中已知的方法列出二元一次方程组求解即可；（3）设另一个因式为(x+c)，利用题目中已知的方法列出二元一次方程组求解即可．（1）解：设另一个因式为(x+a)，则，即（对任意实数x成立）由此得，∴a=-17，故答案为：-17；（2）设另一个因式为(x+b)，则，即（对任意实数x成立）由此得，解得：，故答案为：-2；（3）设另一个因式为(x+c)，则，即（对任意实数x成立）答案第10页，共2页X由此得，解得：，∴k的值为4．【点睛】题目主要考查因式分解的利用，理解题意，设出因式，运用题目中的方法求解是解题关键．20．(1)①CF与BD的数量关系：CF=BD；CF与BD的位置关系：CF⊥BD，证明见解析：②仍然成立，理由见解析；(2)CF与BD的位置关系：CF⊥BD，证明见解析．【分析】（1）①利用SAS可以证明△ABD≌△ACF，从而得到CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，从而推出∠BCF=90°，即得到CF=BD，CF⊥BD；②利用SAS可以证明△ABD≌△ACF，从而得到CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，从而推出∠BCF=90°，即得到CF=BD，CF⊥BD；（2）过A作AE垂直AC，交BC与点E，利用SAS可以证明△ACF≌△AED从而得证∠ACF=∠AED=45°，从而得到∠FCB=90°，即CF⊥BD（1）解：①CF与BD的数量关系：CF=BD；CF与BD的位置关系：CF⊥BD，理由如下：∵AB=AC，∠BAC=90°，即△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABD=∠ACB=45°，∵在等腰直角△ADF，点A为直角顶点，∴AD=AF，∠DAF=90°∴∠BAC=∠DAF∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC即：∠BAD=∠CAF，∵AD=AF，∠BAD=∠CAF，AB=AC∴△ABD≌△ACF答案第11页，共2页X∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=90°∴CF⊥BD即：CF与BD的数量关系：CF=BD；CF与BD的位置关系：CF⊥BD；②仍然成立，理由如下：∵AB=AC，∠BAC=90°，即△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABD=∠ACB=45°，∵在等腰直角△ADF，点A为直角顶点，∴AD=AF，∠DAF=90°∴∠BAC=∠DAF∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC即：∠BAD=∠CAF，∵AD=AF，∠BAD=∠CAF，AB=AC∴△ABD≌△ACF∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=90°∴CF⊥BD即：CF与BD的数量关系：CF=BD；CF与BD的位置关系：CF⊥BD；（2）如图所示：过A作AE⊥AC，交BC与点E，∵∠BCA=45°，AE⊥AC，即△AEC是等腰直角三角形，∴AE=AC，∠EAC=90°，∠AED=∠ACB=45°∵在等腰直角△ADF，点A为直角顶点，∴AD=AF，∠DAF=90°∴∠EAC=∠DAF答案第12页，共2页X∴∠EAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC即：∠EAD=∠CAF，∵AD=AF，∠EAD=∠CAF，AE=AC∴△AED≌△ACF∴CF=ED，∠ACF=∠AED=45°∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=90°∴CF⊥BD【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及的模型是手拉手模型，掌握全等三角形的判定SAS是解题的关键，同时找到两问之间的联系，作辅助线补全第1问的模型（手拉手模型）是解决第2问的关键．21．(1)5(2)10a【分析】（1）分析题意，易证得△ADE≌△ADC，则有CD＝DE，而BC＝BD＋DC可求BC的长；（2）根据题意画出图形，利用三角形的面积公式即可得出结论．（1）解：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD在△ADE和△ADC中∵，∴△ADE≌△ADC（SAS）∴DE＝DC，∴BC＝BD＋DC＝BD＋DE＝2＋3＝5（cm）；（2）解：如图，∵∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是a，∴S△ABC＝S△AOC＋S△AOB＋S△BOC＝×6a＋×9a＋×5a＝3a＋a＋a＝10a答案第13页，共2页X．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．22．（1）全等三角形对应边相等，AF，CD，CD；（2）∠D，全等三角形对应角相等，DE，内错角相等，两直线平行．【分析】（1）根据△ABC≌△DEF，AF=5cm,可以得到CD=AF，从而可以得到CD的长；（2）根据△ABC≌△DEF，可以得到∠A=∠D，从而可以得到AB与DE平行．【详解】解：（1）∵△ABC≌△DEF（已知），∴AC＝DF（全等三角形对应边相等），∴AC﹣FC＝DF﹣FC（等式性质）即AF＝CD，∵AF＝5cm∴CD＝5cm；（2）∵△ABC≌△DEF（已知）∴∠A＝∠D（全等三角形对应角相等）∴ABDE（内错角相等，两直线平行）．故答案为：（1）全等三角形对应边相等，AF，CD，CD；（2）∠D，全等三角形对应角相等，DE，内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（1）DE＝BD+CE，理由见解析；（2）（1）的结论不成立，BD＝DE+CE，理由见解析；（3）（1）的结论成立，证明见解析．【分析】（1）先证明△DAB≌△ECA，然后根据全等三角形的性质得出AE＝BD，AD＝答案第14页，共2页XCE，再结合图形即可得出结论；（2）模仿（1）中的方法证明即可；（3）模仿（1）中的方法证明即可；．【详解】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠DAC＝∠AEC+∠ECA=∠BAC+∠DAB，∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠DAB＝∠ECA，在△DAB和△ECA中，∴△DAB≌△ECA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）BD＝DE+CE，证明如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵CE⊥直线l，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠ACE，在△BAD和△ACE中，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴BD＝AE＝AD+DE＝DE+CE；（3）（1）的结论成立，理由如下：∵∠DAC＝∠2+∠ACE=BAC+BAD∠∠，∠BAC＝∠2，∴∠BAD＝∠ACE，在△DAB和△ECA中，答案第15页，共2页X∴△DAB≌△ECA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理．答案第16页，共2页X