2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第二章方程与不等式第6讲一元二次方程知识通关考点通关素养通关本课时常考知识点有两个：1.一元二次方程根的判别式，10年中考了9次，主要以选择题的形式考查，考查方式有两种，其一不解方程，直接判断一元二次方程根的情况；其二根据方程根的情况，确定参数的值或取值范围.2.一元二次方程的实际应用，主要有面积和周长问题、增长率问题、利润问题等，近几年考查较少.本课时基本上占3～9分.考点一解一元二次方程例1方程（x－2）（x＋3）＝0的解是（）A.x＝2B.x＝－3C.x1＝－2，x2＝3D.x1＝2，x2＝－3D解一元二次方程的方法主要有公式法、配方法和因式分解法.这三种方法要熟练掌握并灵活运用.一般先把方程化成一般形式，若一次项系数为0，可直接开平方；若常数项为0，可因式分解；若都不为0，当满足完全平方公式时，用因式分解法；当二次项系数为1，一次项系数是偶数时，用配方法；如果都不符合，用公式法.跟踪训练（2023新疆）用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是（）A.（x＋6）2＝28B.（x－6）2＝28C.（x＋3）2＝1D.（x－3）2＝1D考点二一元二次方程根的判别式例2（2023河南）关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根A一元二次方程根的判别式的考法主要有两种：1.不解方程，直接判断根的情况；2.根据根的情况，确定参数的值或取值范围.不管哪种考法都要熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判断方法：（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当Δ＜0时，方程无实数根.若一元二次方程的二次项系数含有字母，则根据一元二次方程的定义求值时，要注意不能忽略隐含条件“a≠0”.另外，在确定a，b，c的值时，一定要注意符跟踪训练（2022河南）一元二次方程x2＋x－1＝0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.只有一个实数根A考点三一元二次方程的实际应用例3（2020河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）CA.5000（1＋2x）＝7500B.5000×2（1＋x）＝7500C.5000（1＋x）2＝7500D.5000＋5000（1＋x）＋5000（1＋x）2＝7解本题一定要注意数据7500亿元的含义，若表示2019年的业务量，则答案选C；若表示2017年到2019年总的业务量，则答案选D.跟踪训练（2023牡丹江）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是.20％变式训练（2023东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）.（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？解：（1）设矩形ABCD的宽AB＝xm，则长BC＝70－2x＋2＝（72－2x）m.根据题意，得x（72－2x）＝640.化简，得x2－36x＋320＝0.解得x1＝16，x2＝20.当x＝16时，72－2x＝72－32＝40；当x＝20时，72－2x＝72－40＝32.答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.解：（2）不能.理由如下：由题意，得x（72－2x）＝650.化简，得x2－36x＋325＝0.∵Δ＝（－36）2－4×325＝－4＜0，∴一元二次方程没有实数根.∴羊圈的面积不能达到650m2.答：羊圈的面积不能达到650m2.欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2＋ax＝b2的方法，类似地，我们可以用折纸的方法求方程x2＋x－1＝0的一个正根.如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点G，H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP，NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程x2＋x－1＝0的一个正根，则这条线段是（）BA.线段BHB.线段DNC.线段CND.线段NH【解析】设DN＝m，则NC＝1－m.由题意，得△ADN≌△APN，H是BC的中点.∴DN＝NP＝m，CH＝.∵S正方形＝S△ABH＋S△ADN＋S△CHN＋S△ANH，∴1×1＝×1×＋×m＋×（1－m）＋××m.∴m＝.∵x2＋x－1＝0的解为x＝－±，∴取正值为x＝.∴这条线段是线段DN.故选B.本题考查了一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段之间的关系是解题的关键.素养落地数形结合、方程模型跟踪训练如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接而成的.如果AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为.【解析】设小矩形的长为x，则小矩形的宽为8－x.根据题意，得x[x－（8－x）]＝24.解得x＝6或x＝－2（舍）.故答案为6.6