2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础微专题1一元二次方程根的判别式第二章方程与不等式考情分析一元二次方程根的判别式河南中考近10年考了9次，其中判断一元二次方程根的情况，10年7考；已知根的情况确定方程或参数，10年2考.常以选择或填空的形式进行考查，难度一般，分值3分.其他省份涉及一元二次方程根的判别式的题型常与新定义、函数等综合创新.易错提示：当一元二次方程的二次项系数含有参数时，注意隐含条件“a≠0”.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的根的判别式为Δ＝b2－4ac.Δ＞0方程有两个不相等的实数根；Δ＝0方程有两个相等的实数根；Δ＜0方程无实数根；Δ≥0方程有两个实数根.类型一判断一元二次方程根的情况1.（2019河南）一元二次方程（x＋1）（x－1）＝2x＋3的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根A【解析】原方程可化为x2－2x－4＝0.∴a＝1，b＝－2，c＝－4.∴Δ＝（－2）2－4×1×（－4）＝20＞0.∴方程有两个不相等的实数根.故选A.2.（2022辽宁）下列一元二次方程无实数根的是（）A.x2＋x－2＝0B.x2－2x＝0C.x2＋x＋5＝0D.x2－2x＋1＝0C【解析】A.Δ＝12－4×1×（－2）＝9＞0，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；B.Δ＝（－2）2－4×1×0＝4＞0，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；C.Δ＝12－4×1×5＝－19＜0，则该方程无实数根，故本选项符合题意；D.Δ＝（－2）2－4×1×1＝0，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意.故选C.3.（2020河南）定义运算：m☆n＝mn2－mn－1，例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根A【解析】由题意可知，1☆x＝x2－x－1＝0.∴Δ＝1－4×1×（－1）＝5＞0.∴方程有两个不相等的实数根.故选A.4.（2023内江）对于实数a，b，定义运算“ⓧ”为aⓧb＝b2－ab，例如：3ⓧ2＝22－3×2＝－2，则关于x的方程（k－3）ⓧx＝k－1的根的情况，下列说法正确的是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定A5.（2023湖北）已知关于x的一元二次方程x2－（2m＋1）x＋m2＋m＝0.（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；解：（1）证明：∵Δ＝[－（2m＋1）]2－4（m2＋m）＝4m2＋4m＋1－4m2－4m＝1＞0，∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根.解：（2）∵该方程的两个实数根为a，b，∴a＋b＝－＝2m＋1，ab＝＝m2＋m.∵（2a＋b）（a＋2b）＝2a2＋4ab＋ab＋2b2＝2（a2＋2ab＋b2）＋ab＝2（a＋b）2＋ab，∴2（a＋b）2＋ab＝20.∴2（2m＋1）2＋m2＋m＝20.整理，得m2＋m－2＝0.解得m1＝－2，m2＝1.∴m的值为－2或1.（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a＋b）（a＋2b）＝20，求m的值.类型二已知根的情况确定方程或参数1.（2023北京）若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A.－9B.－C.D.9C2.（2023锦州）若关于x的一元二次方程kx2－2x＋3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A.k＜B.k≤C.k＜且k≠0D.k≤且k≠0D3.（2023张家界）已知关于x的一元二次方程x2－2x－a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是.4.（2023上海）已知关于x的一元二次方程ax2＋6x＋1＝0没有实数根，那么a的取值范围是.5.（2023遂宁）我们规定：对于任意实数a，b，c，d，都有[a，b][c，d]＝ac－bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2][5，1]＝3×5－2×1＝13.（1）求[－4，3][2，－6]的值；解：（1）[－4，3][2，－6]＝－4×2－3×（－6）＝10.a＞－1a＞9（2）已知关于x的方程[x，2x－1][mx＋1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围.解：（2）根据题意，得x（mx＋1）－m（2x－1）＝0.整理，得mx2＋（1－2m）x＋m＝0.∵关于x的方程[x，2x－1][mx＋1，m]＝0有两个实数根，∴Δ＝（1－2m）2－4m·m≥0且m≠0.解得m≤且m≠0.