2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第15讲二次函数的应用第三章函数知识通关考点通关素养通关本课时常考的知识点有：1.以实际问题为背景构建二次函数模型解决问题：本考点考查二次函数的实际应用，借助二次函数的图象与性质解决实际问题，如2023年河南第22题和2022年河南第21题.2.利用二次函数解决利润问题：利用二次函数探究实际生活中的最值问题，是中考的常见考点，多以解答题的形式命题，占10分，如2018年河南第21题.3.几何图形中的最值问题：利用二次函数解决几何图形问题，是中考的常见考点，多以选择题、填空题的形式命题，占3分.考点一以实际问题为背景构建二次函数模型例1（2022河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x－h）2＋k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度.（1）求抛物线的表达式；解：（1）根据题意，得抛物线顶点为（5，3.2）.设抛物线的表达式为y＝a（x－5）2＋3.2.将（0，0.7）代入，得0.7＝25a＋3.2.解得a＝－.∴y＝－（x－5）2＋3.2＝－x2＋x＋.答：抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋.（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m.身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.解：（2）当y＝1.6时，有－x2＋x＋＝1.6.解得x＝1或x＝9.∴她与爸爸的水平距离为3－1＝2（m）或9－3＝6（m）.答：当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离是2m或6m.本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题.跟踪训练（2023温州）在一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线状.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示的直角坐标系.（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；解：（1）∵8－6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3）.设抛物线为y＝a（x－2）2＋3.把点A（8，0）代入，得36a＋3＝0.解得a＝－.∴抛物线的函数表达式为y＝－（x－2）2＋3.∵当x＝0时，y＝－×4＋3＝＞2.44，∴球不能射进球门.（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？解：（2）设小明应带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝－（x－2－m）2＋3.把点（0，2.25）代入，得2.25＝－（0－2－m）2＋3.解得m＝－5（舍去）或m＝1.∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处.考点二最大利润问题例2（2018河南）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系.关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如下表：销售单价x（元）8595105115日销售量y（个）17512575m日销售利润w（元）87518751875875注：日销售利润＝日销售量×（销售单价－成本单价）（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b.根据题意，得解得∴y关于x的函数解析式为y＝－5x＋600.当x＝115时，m＝－5×115＋600＝25.（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是元，当销售单价x＝元时，日销售利润w最大，最大值是元；801002000解：【解析】成本单价＝85－＝80（元）.∴w＝y（x－80）＝（－5x＋600）（x－80）＝－5x2＋1000x－48000＝－5（x－100）2＋2000.∵－5＜0，∴当x＝100，w取得最大值，最大值为2000元.（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系，若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？解：（3）设该产品的成本单价为a元.根据题意，得（－5×90＋600）×（90－a）≥3750.解得a≤65.答：该产品的成本单价应不超过65元.利用二次函数解决实际问题，首先要建立二次函数模型，一般都是根据两个变量之间的等量关系建立.[河南常考的是利润问题，等量关系为：总利润＝（售价－成本）×销售量].利用待定系数法求出一次函数关系根据表中数据求出成本单价，列出w关于x的函数解析式根据二次函数的性质求出w的最大值由题意列不等式求出单价a的取值范围跟踪训练（2023十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒.根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒.设每盒售价为x元，日销售量为p盒.（1）当x＝60时，p＝.400（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？解：（2）由题意，可得W＝（x－40）p＝（x－40）（－10x＋1000）＝－10x2＋1400x－40000＝－10（x－70）2＋9000.∵每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，∴即解得50≤x≤65.∴当x＝65时，W取得最大值，此时W＝8750.（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80.”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论.答：当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是8750元.解：（3）小强：设日销售额为y元.根据题意，可得y＝x·p＝x（－10x＋1000）＝－10x2＋1000x＝－10（x－50）2＋25000.∵－10＜0，∴当x＝50时，y值最大，此时y＝25000.由（2）知，当x＝65时，W值最大，此时W＝8750.∴小强的说法正确.小红：根据题意，可得－10（x－70）2＋9000≥8000，解得60≤x≤80.又∵50≤x≤65，∴当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65.考点三几何图形的面积问题例3（2022湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG，DG的长.图1解：（1）∵（21－12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2）.设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2）.∴36－a＝32.解得a＝4.∴DG＝4m.∴CG＝CD－DG＝12－4＝8（m）.∴CG的长为8m，DG的长为4m.（2）方案二：如图2，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？图2解：（2）设BC的长为xm，则CD的长度为（21－3x）m.∴总种植面积为（21－3x）·x＝－3（x2－7x）＝－3（x－）2＋.∵－3＜0，∴当x＝时，总种植面积有最大值，为m2.答：BC应设计为m，此时总种植面积最大，最大面积为m2.本题主要考查二次函数的应用，能正确表示BC，CD的长，根据二次函数的性质求最值是解题的关键.设水池的长为am，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论设BC的长为xm，则CD的长度为（21－3x）m，得出面积关于x的关系式，利用二次函数的性质求出最值即可跟踪训练（2023天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2.其中，正确结论的个数是（）CA.0B.1C.2D.3【解析】设AD边的长为xm，则AB边的长为m.根据AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根据x的取值范围可判断①不正确；根据矩形的面积为192m2，解方程求出x的值可以判断②正确；设矩形菜园的面积为ym2，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③正确.故选C.京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐.如图，在平面直角坐标系xOy中，某京剧脸谱的轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G.点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，－3），AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆圆心M的坐标为（1，0）.关于图形G给出下列四个结论，其中正确的是（填序号）.①②①图形G关于直线x＝1对称；②线段CD的长为3＋；③图形G围成的区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；④当－4≤a≤2时，直线y＝a与图形G有两个公共点.【解析】由图象可知，图形G关于直线x＝1对称，故①正确；如图，连接CM，∵AB＝4，半圆圆心M的坐标为（1，0），∴OM＝1，MC＝2，∴OC＝＝.∵点D的坐标为（0，－3），∴OD＝3，∴CD＝OD＋OC＝3＋，故②正确；观察图象可知，图形G围成的区域内（不含边界）恰有13个整点，故③错误；由图象可知，当a＝－4或a＝2时，直线y＝a与图形G有一个公共点，故④错误.综上所述，正确的有①②.故答案为①②.本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用、圆的定义及勾股定理等知识点.数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题关键.素养落地数形结合、逻辑推理、数学运算