2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第二部分：专题突破专题六锐角三角函数的实际应用类型二“背对背”型（在三角形内部作高）【模型展示】【模型分析】通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，公共边CD是解题的关键.【等量关系】AD＋BD＝AB【模型演变】【等量关系】CD＝EF；CE＝DF；AD＋DF＋FB＝AB【等量关系】AC＋CB＝AB题型一从同一观测点观测两个位置点1.（2023通辽）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多远？（结果取整数，参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）解：如图，由题意，得PC⊥AB，EF∥AB.∴∠A＝∠EPA＝72°，∠B＝∠BPF＝40°.在Rt△APC中，AP＝100nmile，∴PC＝AP·sin72°≈100×0.95＝95（nmile）.∴在Rt△BCP中，BP＝≈≈148（nmile）.答：B处距离灯塔P约有148nmile.题型二从两个观测点观测同一位置点2.（2023宁波）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示.（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β；解：（1）根据题意，得β＝90°－α.（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C处分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m，求气球A离地面的高度AD.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）解：（2）设AD＝xm.∵∠ACD＝45°，∠ADB＝90°，∴CD＝AD＝xm.∵BC＝20m，∴BD＝（20＋x）m.在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴tan37°＝，即0.75＝.解得x＝60，即AD＝60（m）.答：气球A离地面的高度AD约是60m.题型三从两个观测点观测两个位置点3.（2023广安）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建了一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道.如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向.解：（1）过点D作DF⊥AE，交AE的延长线于点F.由题意，得四边形ACDF是矩形.∴DF＝AC＝170米.在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，∴DE＝≈＝200（米）.∴步道DE的长度约为200米.（1）求步道DE的长度；（2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近.（结果精确到个位，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）解：（2）小红从点A出发，经过点B到达点D路程较近.理由：在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170米，∴EF＝≈＝106.25（米）.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝170米，∴BC＝AC·tan60°＝170（米），∴AB＝＝＝340（米）.∵BD＝100米，∴CD＝BC＋BD＝（170＋100）米.∵四边形ACDF是矩形，∴AF＝DC＝（170＋100）米.∴AE＝AF－EF＝170＋100－106.25≈287.8（米）.∴某人从点A出发，经过点B到达点D的路程为AB＋BD＝340＋100＝440（米），某人从点A出发，经过点E到达点D的路程为AE＋DE＝287.8＋200＝487.8（米）.∵440米＜487.8米，∴小红从点A出发，经过点B到达点D的路程较近.