2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第二部分：专题突破专题七尺规作图类型二尺规作图与证明1.（2023河南）如图，在△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB.（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；解：（1）如图所示，射线AE即为所求.（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE，求证：DE＝BE.解：（2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE.∵AB＝AD，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS）.∴DE＝BE.本题考查了尺规作图的基本作图平分已知角的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.（1）利用角平分线的作图步骤作图即可.（2）证明△BAE≌△DAE（SAS），即可得出结论.2.（2023广东）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝30°.（1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；解：（1）如图，DE即为所求的线段.（2）应用与计算：在（1）的条件下，若AD＝4，AB＝6，求BE的长.解：（2）∵cos∠DAB＝，∴AE＝AD·cos30°＝4×＝2.∴BE＝AB－AE＝6－2.（1）根据要求作出图形即可.（2）根据含30°角的直角三角的性质求得AE的长，再根据BE＝AB－AE即可.（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）.解：（1）如图，直线MN就是线段BD的垂直平分线.3.（2023济宁）如图，BD是矩形ABCD的对角线.（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF.①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；解：（2）①四边形BEDF是菱形.理由如下：由作图可知，OB＝OD.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠EDO＝∠FBO.∵∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB（ASA）.∴ED＝FB.∴四边形BEDF是平行四边形.②∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，∴∠A＝90°，AD＝BC＝10.由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10－x.∵AB＝5，∴AB2＋AE2＝BE2，即25＋（10－x）2＝x2.解得x＝6.25.∴四边形BEDF的周长为6.25×4＝25.②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长.4.（2023金华）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格，在该矩形的边上取点P，来表示∠POA的度数，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法（如图）结论①在CB上取点P1，使CP1＝4.∠P1OA＝45°，点P1表示45°.②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2.∠P2OA＝30°，点P2表示30°.③分别以O，P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连接EF与BC相交于点P3.……作法（如图）结论④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连接OD交AB于点P4.……（1）分别求点P3，P4表示的度数；解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴BC∥OA.∴∠OP2C＝∠P2OA＝30°.由作图可知，EF是OP2的中垂线.∴OP3＝P3P2.∴∠P3OP2＝∠P3P2O＝30°.∴∠P3OA＝∠P3OP2＋∠P2OA＝60°.由作图可知，P2D＝P2O.∴∠P2OD＝∠P2DO.∵CB∥OA，∴∠P2DO＝∠DOA.∴∠P2OD＝∠DOA＝∠P2OA＝15°.∴点P4表示15°.（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）.解：（2）如图，作∠P3OP4的角平分线交BC于点P5，点P5即为所求作的点.∵点P3表示60°，点P4表示15°，∴∠P3OP4＝60°－15°＝45°.∴∠P3OP4＋∠P4OA＝22.5°＋15°＝37.5°.∴P5表示37.5°.