2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第二部分：专题突破专题九方程的应用类型二方案设计型问题1.（2019河南）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A种奖品和2个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和4个B种奖品共需210元.（1）求A，B两种奖品的单价；解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元.根据题意，得解得答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为15元.（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.解：（2）设购买A种奖品z个，则购买B种奖品为（30－z）个，购买奖品的花费为w元.由题意可知，z≥（30－z）.∴z≥.∴w＝30z＋15（30－z）＝450＋15z.∵15＞0，∴w随z的增大而增大.∴当z＝8时，w有最小值，为15×8＋450＝570（元），且30－m＝30－8＝22（个）.答：购买A种奖品8个，购买B种奖品22个，花费最少，最少费用为570元.2.（2023云南）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意.某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A，B两种型号的帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元.（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格.解：（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元.根据题意，得解得答：每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元.（2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？解：（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则购买B种型号帐篷（20－x）顶.根据题意，得w＝600x＋1000（20－x）＝－400x＋20000.∵－400＜0，∴w随x的增大而减小.∵x≤（20－x），∴x≤5.∴当x＝5时，w取最小值，最小值为－400×5＋20000＝18000（元）.∴20－x＝20－5＝15.答：购买A种型号帐篷5顶，购买B种型号帐篷15顶，总费用最低，最低总费用为18000元.3.（2023遂宁）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售.经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同.（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？解：（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x＋2）元.根据题意，得＝.解得x＝10.经检验，x＝10是原方程的根，且符合题意.∴x＋2＝12.答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元.（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元.①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？解：（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200－m）个.根据题意，得W＝（12－10）m＋（15－12）（200－m）＝2m＋600－3m＝－m＋600.∴W与m的函数关系式为W＝－m＋600.∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，∴m≥2（200－m），解得m≥.∴≤m＜200（m为正整数）.②由①知，W＝－m＋600.∵－1＜0，∴W随m的增大而减小.又∵m为正整数，∴当m＝134时，W有最大值，最大值为466，此时200－134＝66.答：购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时，利润最大，最大利润为466元.4.（2023扬州）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元.（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？解：（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为（x＋11）元.根据题意，得20（x＋11）＋30x＝2920.解得x＝54.∴x＋11＝65.答：甲、乙两种头盔的单价分别是65元、54元.（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，可使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？解：（2）设再次购进m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用为w元，则m≥（40－m）.解得m≥13.∴w＝0.8×65m＋（54－6）（40－m）＝4m＋1920.∵4＞0，∴w随m的增大而增大.∴当m＝14时，w有最小值，最小值为4×14＋1920＝1976.答：应购买14只甲种头盔，可使此次购买头盔的总费用最小，最小费用为1976元.