2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第13讲二次函数的图象与性质第三章函数知识通关考点通关素养通关本课时常考的知识点三大题型均有涉及，分值3～10分.考点有：1.二次函数的图象与性质，考查的内容有：①增减性；②对称性；③求顶点坐标；④以二次函数为载体，探究函数图象的性质.主要在填空题、选择题中出现，是高频考点，10年4考，占3分.2.二次函数解析式的确定，此考点年年考，一般出现在二次函数综合题的第一问.3.二次函数图象的平移是中考的必考点，考查的内容有：①解析式的确定；②明确二次函数解析式的三种形式，会判断平移后的二次函数解析式，10年2考，占3分.考点一二次函数的图象与性质①二次函数的增减性例1已知点A（4，y1），B（，y2），C（－2，y3）都在二次函数y＝（x－2）2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是.y2＜y1＜y3解决此类问题的关键是能够求出对称轴，并能根据开口方向判断对称轴两侧的增减性，需要注意的是所给的点是否在对称轴的同侧.若不在同侧要根据对称性转化到同侧，再利用增减性比较大小.或者直接代入求值比较大小.跟踪训练（2022陕西）已知二次函数y＝x2－2x－3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3B.y2＜y1＜y3C.y3＜y1＜y2D.y2＜y3＜y1B变式训练（2022长春）已知二次函数y＝－x2－2x＋3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为.－1－②二次函数图象的对称性例2（2019河南）已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过（－2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A.－2B.－4C.2D.4B本题考查了二次函数图象上的点的坐标.熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键.变式训练（2023福建）已知抛物线y＝ax2－2ax＋b（a＞0）经过A（2n＋3，y1），B（n－1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是.－1＜n＜0跟踪训练（2023内蒙古）已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3（a＞0），若点P（m，3）在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为.2③二次函数图象的顶点坐标与最值例3已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是.（1，4）解决此类问题的关键是先求出解析式，再把一般式化为顶点式求出顶点坐标，或者直接代入顶点坐标公式求解亦可.跟踪训练（2023兰州）已知二次函数y＝－3（x－2）2－3，下列说法正确的是（）A.对称轴为x＝－2B.顶点坐标为（2，3）C.函数的最大值是－3D.函数的最小值是－3C变式训练（2023绍兴）已知二次函数y＝－x2＋bx＋c.（1）当b＝4，c＝3时，①求该函数图象的顶点坐标；②当－1≤x≤3时，求y的取值范围.解：（1）①当b＝4，c＝3时，y＝－x2＋4x＋3＝－（x－2）2＋7，∴该函数图象的顶点坐标为（2，7）.②由①，得该抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2.∴在－1≤x≤3中，当x＝2时，y有最大值7，当x＝－1时，y有最小值－2.解：（2）∵当x≤0时，y的最大值为2，当x＞0时，y的最大值为3，∴抛物线的对称轴x＝在y轴的右侧.∴b＞0.∵抛物线的开口向下，∴在y轴的左侧，y随x的增大而增大.∴在x≤0中，当x＝0时，y取最大值2，即c＝2.又∵＝3，∴b＝±2.∵b＞0，∴b＝2.∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋2.（2）当x≤0时，y的最大值为2，当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式.考点二二次函数解析式的确定例4（2023宁波）如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A（1，－2）和点B（0，－5）.（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；解：（1）把A（1，－2）和B（0，－5）代入y＝x2＋bx＋c中，得解得∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5.∵y＝x2＋2x－5＝（x＋1）2－6，∴函数图象的顶点坐标为（－1，－6）.【解析】∵点A（1，－2）关于对称轴x＝－1对称的点为C（－3，－2），（2）当y≤－2时，请根据图象直接写出x的取值范围.解：（2）－3≤x≤1【解析】∴当y≤－2时，x的取值范围是－3≤x≤1.本题考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数的表达式.第（1）问用待定系数法即可求出函数的表达式，再把表达式化成顶点式或用顶点坐标公式即可得顶点坐标；第（2）问求出A关于对称轴对称的点的坐标，借助图象即可得到答案.跟踪训练（2023广东）如图，已知抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，且点B在y轴上，则ac的值为（）A.－1B.－2C.－3D.－4B考点三二次函数图象的平移例5在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A.y＝（x＋2）2＋2B.y＝（x－2）2－2C.y＝（x－2）2＋2D.y＝（x＋2）2－2B本题主要考查了二次函数图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，在一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）平移过程中，先把抛物线的解析式化成顶点式，然后根据平移规律：左右平移在x处加减平移单位长度，上下平移在等号右边的整体加减平移单位长度.跟踪训练（2023徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x＋1）2＋3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A.y＝（x＋3）2＋2B.y＝（x－1）2＋2C.y＝（x－1）2＋4B变式训练（2023牡丹江）将抛物线y＝（x＋3）2向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点.2或4（2023巴中）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数y＝x＋3与y＝－x＋3互为“Y函数”.若函数y＝x2＋（k－1）x＋k－3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”的图象与x轴的交点坐标为.（3，0）或（4，0）【解析】当k＝0时，函数解析式为y＝－x－3，它的“Y函数”的解析式为y＝x－3，它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它的“Y函数”的图象与x轴的交点坐标为（3，0）；当k≠0时，此函数为二次函数，若二次函数y＝x2＋（k－1）x＋k－3的图象与x轴只有一个交点，则二次函数的顶点在x轴上，即＝0，解得k＝－1，∴二次函数的解析式为y＝－x2－2x－4＝－（x＋4）2，∴它的“Y函数”的解析式为y＝－（x－4）2，令y＝0，则－（x－4）2＝0，解得x＝4，∴二次函数的“Y函数”的图象与x轴的交点坐标为（4，0）.综上所述，它的“Y函数”的图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）.素养落地创新意识、应用意识、分类讨论、运算能力、数形结合