2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第18讲特殊三角形第四章三角形知识通关考点通关素养通关特殊三角形是每年中考的必考知识点之一，各个题型中均有出现，常考点为勾股定理、三角函数、面积计算、特殊直角三角形的三边比例关系、斜边上中线的性质等.常和旋转、折叠、轴对称、平移等图形变换相结合，考查学生数形结合、分类讨论、逻辑推理等能力.考点一特殊三角形中的相关计算例1如图1，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，图1图2图3图4（1）AC的长度为，S△ABC＝；3（2）如图2，分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则△ADC是三角形，S△ADC＝；（3）如图3，连接DB，交AC于点N，△ABD是三角形，S△ABD＝，BD＝，AN＝；（4）S四边形ABCD＝；（5）如图4，若点M是BD的中点，连接AM，则AM＝；（6）与△ABC全等的三角形是.等边直角23△AMD掌握特殊三角形的性质是解决本题的关键，本题中每问解决的方法不唯一，可尝试用多种方法解决问题，比较分析各方法的优势与劣势，最终熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质解决问题.跟踪训练（2023荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点.若AC＝8，CD＝5，则DE＝.3变式训练（2023扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为.96考点二特殊三角形中的图形变换（1）——落在特殊位置例2（2021河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1.第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D'处，如图3.当点D'恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A'D'的长为.或2－图1图2图3【解析】①点D'恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设A'C交AB边于点E，如图1，根据题意，得△ADC≌△A'DC≌△A'D'C，A'C垂直平分线段DD'，则∠D'A'C＝∠DA'C＝∠A＝60°，A'C＝AC＝1.∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴BC＝AC＝，AB＝2AC＝2.由等面积法，可得斜高CE＝.∴A'E＝1－.图1在Rt△A'D'E中，∵cos∠D'A'E＝，∴A'D'＝2A'E＝2－.②点D'恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图2，根据题意，得△ADC≌△A'DC≌△A'D'C，∠ACD＝∠A'CD＝∠A'CD'＝∠ACB＝30°.则∠D'A'C＝∠DA'C＝∠A＝60°，A'C＝AC＝1.∵∠D'A'C＝60°，∠A'CD'＝30°，∴∠A'D'C＝90°.故答案为或2－.∴A'D'＝A'C＝×1＝.综上，线段A'D'的长为或2－.图2本题考查了三角形的面积公式、等面积法、勾股定理、三角函数、垂直平分线的性质、折叠的性质、分类讨论等.由于D'的位置不确定，需分类讨论，可借助手中直角三角形具体的折叠探索，也可以利用“折叠的过程中，对应点连线的垂直平分线是折痕所在直线”找到两次的折痕.画出符合题意的图形，找到其中关联的线段和角，在直角三角形中利用勾股定理或三角函数即可解决问题.跟踪训练如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，折叠该三角形纸片，若AC边完全落在另一条边上，则折痕长为cm.3或【解析】分两种情形：①当AC落在AB边上时（图1），折痕是AD.②当AC落在CB边上时（图2），折痕为CF，过点F作FG⊥BC于点G，FH⊥AC于点H，则四边形FGCH是正方形.设CG＝xcm，分别利用面积法求解即可.图1图2考点三特殊三角形中的图形变换（2）——特殊图形的存在性例3（2022河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ.当∠ADQ＝90°时，AQ的长为.或【解析】如图所示.∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4.∵点D为AB的中点，∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°.∵∠ADQ＝90°，∴点C，D，Q在同一条直线上.由旋转得CQ＝CP＝CQ'＝1.分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD－CQ＝1，∴AQ＝＝＝；当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ'中，DQ'＝CD＋CQ'＝3，∴AQ'＝＝＝.综上所述，当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或.故答案为或.本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质、旋转的性质和分类讨论思想.旋转中存在着隐形圆，即隐藏着相等的线段，画出符合题意的图形，然后观察其中线段关系是解决此问题的关键.跟踪训练（2022德阳）如图，在直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB.若CB＝1，那么CE＝.【解析】如图，设CE交AB于点O.∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝DB.∴∠A＝∠ACD.由翻折的性质可知，∠ACD＝∠DCE.∵CE⊥AB，∴∠BCE＋∠B＝90°.∵∠A＋∠B＝90°，∴∠BCE＝∠A.∴∠BCE＝∠ACD＝∠DCE＝30°.∴CO＝CB·cos30°＝.∵DA＝DE，DA＝DC，∴DC＝DE.∵DO⊥CE，∴CO＝OE＝.∴CE＝.故答案为.1.（2023凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是.1＋取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的三边关系得到OC小于等于OD＋DC，所以只有当O，D，C三点共线时，OC取得最大值，最大值为OD＋CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD⊥AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC＋OD，即为OC的最大值.素养落地几何直观、逻辑推理2.（2023北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC的同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE.设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：①a＋b＜c；②a＋b＞；③（a＋b）＞c.上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③D本题考查了全等三角形的性质，三角形的性质以及勾股定理.由△EAB≌△BCD，可得BE＝BD，∠DBE＝90°.解决问题时要注意BE的长既可以在Rt△EAB中通过勾股定理计算表示为，又能在Rt△EBD中通过勾股定理计算表示为，然后再由三角形三边关系即可判断①②③.素养落地几何直观、逻辑推理