2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础微专题4半角模型第四章三角形半角模型：半角模型指在题目中出现了两个共顶点的角，其中小角等于大角的一半，故称其为半角模型.常见的有60°含30°，90°含45°，120°含60°等特殊角之间的半角模型.在此模型背景下，通过旋转或者截取线段构造全等三角形，可以解决线段和差的关系问题.在此主要介绍90°含45°的半角模型.背景1以正方形为背景的90°含45°半角模型条件：正方形ABCD中，点E在边BC上，∠EAF＝45°.思路分析：方法1：将△ADF顺时针旋转90°得到△ABF'，易证∠ABF'＋∠ABE＝180°，于是可证△AEF'≌△AEF.（注意：旋转后需证明三点共线即中间点处的角度为180°）方法2：在CB的延长线上截取BF'，使得BF'＝DF，连接AF'，易证△ABF'≌△ADF，于是可证△AEF'≌△AEF.（常用方法）模型构造全等结论①EF＝DF＋BE；②CE＋CF＋EF＝2AB；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF条件：正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，∠EAF＝45°.思路分析：方法1：将△ABE逆时针旋转90°，得到△ADG，易证AB与AD重合，点D，G，C三点共线，于是可证△AEF≌△AGF.方法2：在DC上截取DG，使得DG＝BE，连接AG，易证△ABE≌△ADG，于是可证△AEF≌△AGF.模型构造全等结论①EF＝DF－BE；②FA平分∠DFE模型应用1.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD边上，若CE＝2，且∠ECF＝45°，则CF的长为（）A.B.C.2D.A2.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF＝45°，AE，AF与BC，CD边分别交于E，F两点.易证得EF＝BE＋DF.大致证明思路：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，由∠HBE＝180°可得H，B，E三点共线，∠HAE＝∠EAF＝45°，进而可证明△AEH≌△AEF，故EF＝BE＋DF.图1图2任务：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A为顶点的∠EAF＝60°，AE，AF与BC，CD边分别交于E，F两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF＝BE＋DF是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.图解：EF＝BE＋DF依然成立.理由如下：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM.∴△ABM≌△ADF，∠ABM＝∠D＝90°，∠MAB＝∠FAD，AM＝AF，MB＝DF.∴∠MBE＝∠ABM＋∠ABE＝180°.∴M，B，E三点共线.∵∠MAE＝∠MAB＋∠BAE＝∠FAD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝60°，∴∠MAE＝∠FAE.∵AE＝AE，AM＝AF，∴△MAE≌△FAE（SAS）.∴ME＝EF.∴EF＝ME＝MB＋BE＝DF＋BE.背景2以等腰直角三角形为背景的90°含45°半角模型条件：等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上（或CB的延长线上），∠DAE＝45°.思路分析：方法1：将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABE'，易证∠ABE'＋∠ABD＝90°，于是可证△ADE'≌△ADE.方法2：过点B作BE'⊥BC，使得BE'＝EC，连接AE'，DE'，易证△ABE'≌△AEC，于是可证△ADE'≌△ADE.（常用方法）模型构造全等结论点D在线段BC上BD2＋CE2＝DE2点D在线段CB延长线上BD2＋CE2＝DE2模型应用3.如图，E，F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE.（1）求证：△ABE≌△ACD；证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∠B＝∠ACB＝45°.∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°.∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝45°＝∠B.在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）.（2）求证：EF2＝BE2＋CF2.证明：（2）由（1）知，△ABE≌△ACD.∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD.∵∠BAC＝90°，∴∠EAD＝∠CAE＋∠CAD＝∠CAE＋∠BAE＝∠BAC＝90°.∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＝∠DAE－∠EAF＝45°＝∠EAF.∵AF＝AF，∴△AEF≌△ADF（SAS）.∴DF＝EF.在Rt△DCF中，根据勾股定理，得DF2＝CF2＋CD2.∵CD＝BE，∴EF2＝CF2＋BE2.4.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°.若BM＝1，CN＝3，求MN的长.解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM，连接AE，EN.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°.∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°.在△ABM和△ACE中，∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠CAN＝45°.∴由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°.在△MAN和△EAN中，∴△MAN≌△EAN（SAS）.∴MN＝EN.在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2＋NC2.∴MN2＝BM2＋NC2.∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE.∴△ABM≌△ACE（SAS）.∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12＋32.∴MN＝.变式训练1.如图，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，E，F分别是线段BC，CD上的点，且BE＋FD＝EF.求证：∠EAF＝∠BAD.证明：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB的位置，AF旋转到AG的位置.∴AG＝AF，BG＝DF，∠ABG＝∠D，∠BAG＝∠DAF.∵∠ABC＋∠D＝180°，∴∠ABC＋∠ABG＝180°.∴点G，B，C共线.∵BE＋FD＝EF，∴BE＋BG＝GE＝EF.在△AEG和△AEF中，∴△AEG≌△AEF（SSS）.∴∠EAG＝∠EAF.∴∠EAB＋∠BAG＝∠EAF.又∵∠BAG＝∠DAF，∴∠EAB＋∠DAF＝∠EAF.∴∠EAF＝∠BAD.2.在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC.探究：当M，N分别在线段AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系.（1）如图1，当DM＝DN时，BM，NC，MN之间的数量关系是；BM＋NC＝MN图（2）如图2，当DM≠DN时，猜想（1）中的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.图2解：（2）（1）中的结论还成立，BM＋NC＝MN.如图，延长AC至E，使CE＝BM，连接DE.∵BD＝CD，且∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°.又∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∴∠MBD＝∠NCD＝90°.在△MBD与△ECD中，∵DB＝DC，∠DBM＝∠DCE＝90°，BM＝CE，∴△MBD≌△ECD（SAS）.在△MDN和△EDN中，∵MD＝ED，∠MDN＝∠EDN＝60°，DN＝DN，∴△MDN≌△EDN（SAS）.∴MN＝NE＝NC＋CE＝NC＋BM.