2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础微专题7“手拉手”模型第四章三角形组成平行“A”字型的两个三角形绕公共顶点旋转形成的图形，我们通常称之为“手拉手”模型，此模型具有“一转成双”的性质，而且在旋转过程中存在一些特殊时刻能够形成特殊图形（如：三点共线等），常与全等、相似、解三角形、勾股定理、四点共圆等知识综合在一起，多在河南中考（10年6考）类比探究题中考查.模型一全等型“手拉手”模型特征模型分类图示常用结论共顶点、等线段、顶角相等等腰三角形已知：DA＝EA，BA＝CA，∠BAC＝∠DAE＝α.结论：①△BAD≌△CAE（SAS）；②拉手线BD＝CE；③拉手线BD和CE所在直线的夹角∠DPC与α相等或互补模型特征模型分类图示常用结论共顶点、等线段、顶角相等等边三角形已知：DA＝EA，BA＝CA，∠BAC＝∠DAE＝α.结论：①△BAD≌△CAE（SAS）；②拉手线BD＝CE；③拉手线BD和CE所在直线的夹角∠DPC与α相等或互补等腰直角三角形模型特征模型分类图示常用结论共顶点、等线段、顶角相等正方形已知：正方形ABCD和正方形CEFG.结论：①△BCG≌△DCE（SAS）；②拉手线BG＝DE；③拉手线BG和DE所在直线的夹角∠BPE＝90°（BG⊥DE）模型练习1.（2023天津）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（）A.∠CAE＝∠BEDB.AB＝AEC.∠ACE＝∠ADED.CE＝BDA2.（2023遂宁）如图，以△ABC的边AB，AC为腰分别向外作等腰直角△ABE，△ACD，连接ED，BD，EC，过点A的直线l分别交线段DE，BC于点M，N.以下说法：①当AB＝AC＝BC时，∠AED＝30°；②EC＝BD；③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，则DE＝2；④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点.正确的有.（填序号）①②④【解析】由AB＝AC＝BC，得∠BAC＝60°，因为AE＝AB，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，所以AE＝AD，∠EAD＝120°，则∠AED＝∠ADE＝30°，可判断①正确；由∠CAD＝∠BAE＝90°，推导出∠CAE＝∠DAB，可证明△CAE≌△DAB（SAS），得EC＝BD，可判断②正确；设BD交AE于点G，交CE于点O，可证明∠EOB＝90°，则∠COD＝∠BOC＝∠DOE＝90°，根据勾股定理推导出DE2＋BC2＝BE2＋CD2，可求得BE2＝AB2＋AE2＝18，CD2＝AD2＋AC2＝32，BC2＝36，则DE＝≠2，可判断③错误；当直线l⊥BC时，作EF∥AD交直线l于点F，连接DF，可证明△EAF≌△ABC，则EF＝AC＝AD，所以四边形ADFE是平行四边形，则M为线段DE的中点，可判断④正确.3.（2023邵阳）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平形线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D，E重合）.将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ，PQ，PQ交AC于点F.（1）证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ＝120°；解：（1）证明：∵将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，∴PA＝QA，∠PAQ＝60°.∴△APQ是等边三角形.∴∠AQP＝60°.∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝60°.∴∠AQP＝∠AED.∴点A，P，E，Q四点共圆.∴∠PAQ＋∠PEQ＝180°.∴∠PEQ＝120°.（2）当为何值时，△AQF是直角三角形？解：（2）如图，根据题意知，只有当∠AFQ＝90°时，成立.∵△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，∴∠PAQ＝60°，AP＝AQ.∴△APQ是等边三角形.∵∠AFQ＝90°，∴∠PAF＝∠QAF＝30°.∴∠DAP＝30°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADP＝∠ABC＝60°.∵∠DAP＝30°，∴∠APD＝90°.∴tan∠ADP＝tan60°＝＝.∴当＝时，△AQF是直角三角形模型二相似型“手拉手”模型特征模型分类图示常用结论共顶点，对应边成比例，顶角相等两个全等的非等腰三角形已知：△ABC≌△ADE（△ABC∽△ADE），AB≠AC，∠BAC＝α.结论：①△BAD∽△CAE；②＝＝；③拉手线BD和CE所在直线的夹角∠DPC与α相等或互补两个相似的非等腰三角形模型特征模型分类图示常用结论共顶点，对应边成比例，顶角相等两个相似的矩形已知：矩形ABCD∽矩形FECG.结论：①△BCE∽△DCG；②＝＝；③拉手线BE和DG所在直线的夹角∠BPD＝90°（BE⊥DG）模型练习4.（2023黑龙江）如图1，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH.易证：FH＝FG.若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如图2；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如图3；其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系.写出你的猜想，并利用图2或图3进行证明.证明：连接AH，CE，AF.∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，F，H分别是DE，BC的中点，∴AH⊥BC，AF⊥DE，AH＝CH＝BC，AF＝EF＝DE.∴∠CAH＝∠EAF＝45°.∴∠HAF＝∠EAC，＝＝.解：如图1，FH＝FG.∴△AHF∽△ACE.∴＝＝，即CE＝FH.∵点F，G分别是DE，DC的中点，∴CE＝2FG.∴FH＝FG.证明：连接AH，CE，AF.∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠AFD＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°.∵点F，H分别是DE，BC的中点，∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF＝×120°＝60°.如图2，FH＝FG.∵点F，G分别是DE，DC的中点，∴CE＝2FG.∴FH＝FG.∴∠HAF＝∠EAC，＝＝.∴△AHF∽△ACE.∴＝＝，即CE＝2FH.5.（2023黄冈）【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系.【问题探究】（1）如图1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：.AD⊥BE（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.（2）（1）中的结论成立.理由如下：如图1，延长BE交AC于点H，交AD于点N.∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE.又∵＝＝，∴△DCA∽△ECB.∴∠DAC＝∠CBE.∵∠CAB＋∠ABE＋∠CBE＝90°，∴∠CAB＋∠ABE＋∠DAC＝90°.∴∠ANB＝90°.∴AD⊥BE.【拓展应用】（3）当m＝，AB＝4，DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长.（3）如图2，当点E在线段AD上时，连接BE.∵△DCA∽△ECB，∴＝＝m＝.∴BE＝AD＝（4＋AE）.∵AD⊥BE，∴AB2＝AE2＋BE2.∴112＝AE2＋3（4＋AE）2.解得AE＝2或AE＝－8（舍去）.∴BE＝6.如图3，当点D在线段AE上时，连接BE.∵△DCA∽△ECB，∴＝＝m＝.∴BE＝AD＝（AE－4）.∵AD⊥BE，∴AB2＝AE2＋BE2.∴112＝AE2＋3（AE－4）2.解得AE＝8或AE＝－2（舍去）.∴BE＝4.综上所述，BE＝6或4.模型三补形（构造“手拉手”）如果图中没有共顶点的相似三角形时，可以通过“补形”构造“手拉手”模型.构造方法图示结论已知AO＝BO（两只大手），找出第三只手CO，顺时针构造DO，使得∠COD＝∠AOB，此时DO＝CO△AOC≌△BOD；△AOB∽△COD已知AO＝BO（两只大手），找出第三只手CO，逆时针构造DO，使得∠COD＝∠AOB，此时DO＝CO△AOD≌△BOC；△AOB∽△DOC模型练习6.如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝2，BD＝3，则CD的长为（）A.B.4C.D.A【解析】如图，在CD的右侧作等边△CDE，连接AE，则∠ADE＝90°，DE＝DC，∠DCE＝60°.∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACE＝∠BCD.在△ACE和△BCD中，​∴△ACE≌△BCD（SAS）.∴AE＝BD.∵在Rt△ADE中，DE2＝AE2－AD2＝BD2－AD2＝5，∴DE＝.∴CD＝DE＝.故选A.7.在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为AB，CD的中点，点P为线段MN上一动点，以线段BP为边，在BP的左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为.【解析】如图，由题意可知，当点P与点M重合时，以BP为边在其左侧作等边三角形BMQ1，当BP等于BA时，作等边三角形BPA，此时Q和A重合，当P运动到点N时，以BP为边作等边三角形BNQ2，∴点P在线段MN上运动时，以BP为边的等边三角形BPQ的顶点Q的轨迹是线段Q1Q2，当MQ⊥Q1Q2时，QM的值最小.∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝2，点M是AB边的中点，∴AM＝BM＝1.∵△BMQ1是等边三角形，∴MQ1＝AM＝BM＝1，∠BMQ1＝60°.∴∠Q1MA＝120°.又∵MQ⊥Q1Q2，∴∠Q1MQ＝∠Q1MA＝60°.∴MQ＝MQ1＝.故答案为.8.（2023辽宁）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G.（1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；解：（1）AD＝EF（2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG＋BD＝BC；解：（2）证明：如图1，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，O为AB的中点，∴∠COB＝90°，AB＝BC.∵∠BFG＝90°，∴∠G＝360°－∠COB－∠OBF－∠BFG＝45°＝∠A.∵BC⊥直线l，EF⊥直线l，∴BC∥GF.∴∠CEG＝∠BCE.∵∠BCE＝90°－∠BCD＝∠ACD，∴∠CEG＝∠ACD.∵CE＝CD，∴△CEG≌△DCA（AAS）.∴CG＝AD.∵AD＋BD＝AB，∴CG＋BD＝BC.（3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF∶BC＝1∶3时，请直接写出的值.解：（3）或【解析】由EF∶BC＝1∶3，设EF＝m，则BC＝AC＝3m.如图2，当D在线段AB上时，延长AC交GF于点K，由（2）知，△CEG≌△DCA，∴GE＝AC＝3m，∵∠CBF＝∠BFE＝∠BCK＝90°，∴四边形BCKF是矩形，∴KF＝BC＝3m，∠CKG＝90°，∴KE＝KF－EF＝2m，∴GK＝GE－KE＝m，∵∠G＝45°，∴CK＝GK＝m，∴CE2＝CK2＋KE2＝m2＋（2m）2＝5m2，如图3，当D在射线BA上时，延长EG交AC于点T，同理，可得BC＝AC＝EG＝3m，∴FG＝EG－EF＝2m，∵TF＝BC＝3m，∴TG＝TF－FG＝m，∴S1＝CD·CE＝CE2＝，∵AC＝BC＝3m，∴S2＝AC·BC＝，∴＝；∵∠ACB＝90°，CA＝CB，O为AB的中点，∴∠AOC＝45°，∵BC∥EF，∴∠ETC＝90°，∴CT＝TG＝m，∴CE2＝CT2＋TE2＝m2＋（m＋3m）2＝17m2，∴S1＝，∵S2＝，∴＝.综上所述，的值为或.