2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第七章图形的变化第28讲图形的平移、旋转及轴对称知识通关考点通关素养通关平移、旋转和轴对称是中考的必考考点，考法1.以选择题的形式出现，判断是否是轴对称图形，中心对称图形（10年2考）；考法2.以平面图形为背景，如矩形等，经过对称、旋转变换，考查分类讨论及相关计算，求线段的长、阴影部分面积，亦有求点的坐标（10年10考）.此考点出题较难，分值为3～19分.考点一对称图形的识别例1（2023牡丹江）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）ABCDA本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与自身重合.考点二图形的平移例2（2023南充）如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF的长是（）A.2B.2.5C.3D.5A本题考查的是平移的性质，掌握经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等是解题的关键.由平移的性质可知CF＝BE＝2.变式训练（2020河南）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）.将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（）BA.（，2）B.（2，2）C.（，2）D.（4，2）考点三图形的轴对称例3（2023娄底）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC＝10，sin∠AFB＝，则DE＝.5本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明AF＝AD＝BC＝10并且求出AB的长是解题的关键.由矩形的性质得∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝10，由折叠得AF＝AD＝10，FE＝DE，则＝sin∠AFB＝，所以AB＝AF＝8，BF＝＝6，则CD＝AB＝8，CF＝BC－BF＝4，由勾股定理得42＋（8－DE）2＝DE2，求得DE＝5，于是得到问题的答案.考点四图形的旋转例4（2023宿迁）如图，△ABC是正三角形，点A在第一象限，点B（0，0），C（1，0）.将线段CA绕点C按顺时针方向旋转120°至CP1；将线段BP1绕点B按顺时针方向旋转120°至BP2；将线段AP2绕点A按顺时针方向旋转120°至AP3；将线段CP3绕点C按顺时针方向旋转120°至CP4；……；以此类推，则点P99的坐标是.（－49，50）【解析】如图，先画出前4次旋转后点的情形分析.由图象，可得点P1，P4均在x轴正半轴上.∴旋转3次为一个循环.∵99÷3＝33，∴点P99在射线CA的延长线上，点P100在x轴的正半轴上.∵C（1，0），△ABC是正三角形，∴由旋转的性质，可得AC＝CP1＝1.∴BP1＝OC＋CP1＝2.∴P1（2，0）.∴BP2＝BP1＝2.∴AP3＝AP2＝OP2＋AO＝3.∴CP4＝CP3＝CA＋AP3＝3＋1＝4.∴BP4＝BC＋CP4＝5.∴P4（5，0）.∴同理，可得P7（8，0），P10（11，0）.∴P100（101，0）.∴BP100＝101.∴CP100＝101－1＝100.∴由旋转的性质，可得CP99＝100.如图，过点P99作P99E⊥x轴于点E.∵∠ACB＝60°，∴∠EP99C＝30°.∴EC＝P99C＝50.∴EO＝EC－OC＝49，P99E＝＝50.∴点P99的坐标是（－49，50）.故答案为（－49，50）.本题考查了坐标与图形变化、旋转、勾股定理、等边三角形的性质等知识，正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离是解题的关键.首先画出图形，发现旋转3次为一循环，由此得到点P99在射线CA的延长线上，点P100在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到CP99＝100，最后利用勾股定理和含30°角直角三角形的性质求解即可.（2022郑州模拟）平移、旋转与翻折是几何变换中的三种基本变换，也是初中课程中十分重要的学习内容，平移、旋转与翻折只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此我们又称这三种变换为全等变换.小明发现，在解决一些数学问题时，可以利用这三种变换使得问题简单化.（1）对称变换：如图1，已知正方形ABCD的边长为4.点E，H在对角线AC上，点F，I在BC边上，点G，J在CD边上，且EG∥HJ∥AD，EF∥HI∥AB，求阴影部分的面积；小明将正方形沿AC翻折，得到如图2所示的△ABC，他发现图1中阴影部分的面积就等于图2中△ABC的面积，所以图1中阴影部分的面积为；8图1图2【解析】∵正方形ABCD的边长为4，∴S阴影＝S△ABC＝×4×4＝8.（2）平移变换：如图3，已知长方形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E，F，G，H分别在AD，AB，BC，CD上，且FH∥BC，EG∥AB，EG与FH交于点I，求阴影部分的周长；小明将FI平移到BG，IG平移到FB……，快速地求出了阴影部分的周长为；44图【解析】由平移的性质知，C阴影＝C矩形ABCD＝2×（12＋10）＝44.（3）如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝120°，∠C＝105°，BC＝6，CD＝2，求四边形ABCD的面积；图4解：（3）如图，连接AC，将△ABC绕点A逆时针旋转120°得△ADE，连接CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H.∴DE＝BC＝6，∠B＝∠ADE.∵∠BAD＝120°，∠BCD＝105°，∴∠B＋∠ADC＝135°.∴∠CDE＝135°.∴∠EDH＝45°.∴EH＝6.∴S△CDE＝CD·EH＝×2×6＝6.在Rt△ECH中，由勾股定理，得CE＝＝10.过点A作AF⊥CE于点F，∴CF＝CE＝5.∵∠BAD＝120°，∴∠CAE＝120°.∴AF＝CF＝.∴S△ACE＝CE·AF＝×10×＝.∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ADE＝6＋.（4）如图5，已知△BAC≌△FCD，且B，C，D在一条直线上，BA＝BC＝2，设∠ACB＝α，直线BC上方有一点E满足CA＝CE且∠ACE＝90°＋2α，连接AE，当α＝时，AE取得最大值，且AE的最大值为.（注：点A，E，F均在直线BC的上方）图522.5°4＋2【解析】如图，将△ABC沿AC翻折得△AMC，△CFD绕点C逆时针旋转，使CD与CE重合，点F的对应点为点N，连接MN.∴CM＝CB，CN＝CF.∵∠ACB＝α，∠ACE＝90°＋2α，∴∠MCN＝90°.∵△BAC≌△FCD，BA＝BC＝2，∴MN＝2.∴AE≤AM＋MN＋NE，即AE最大值为4＋2，此时点A，M，N，E四点共线.∴4α＝90°.∴α＝22.5°.（1）根据翻折的性质，直接求△ABC的面积；（2）根据平移的性质，求矩形ABCD的周长即可；（3）将△ABC绕点A逆时针旋转120°得△ADE，连接CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，由∠B＋∠ADC＝135°，得∠EDH＝45°，得出△CDE的面积，在Rt△ECH中，由勾股定理得CE＝10，过点A作AF⊥CE于点F，再求出△ACE的面积即可；（4）将△ABC沿AC翻折得△AMC，△CFD绕点C逆时针旋转，使CD与CE重合，点F的对应点为点N，连接MN，可得∠MCN＝90°，MN＝2，由AE≤AM＋MN＋NE，即AE最大值为4＋2，此时点A，M，N，E四点共线.素养落地几何直观、运算能力、推理能力