2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第11讲第一函数的应用第三章函数知识通关考点通关素养通关本课时的知识点是一次函数的应用，以实际问题为背景，利用一次函数的图象和性质，进行解答，每年必考，基本上占3～12分.考查的内容一般有：1.一次函数图象型问题，由函数图象得到正确信息，充分利用函数的性质来解决问题，是中考的必考题型，多以解答题的形式命题.2.方案选取型问题，是中考的重点考查内容，由函数图象得到正确信息，把已知量代入解析式得到未知量，再根据结果进行选取，以解答题的形式命题，10年3考，分值9分.3.方案设计型问题，是中考的重点考查内容，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际，设计最优方案，以解答题的形式命题，10年5考，分值9分.考点一一次函数图象型问题例1（2023吉林）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘的长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组的挖掘时间x（天）之间的关系如图所示.（1）甲组比乙组多挖掘了天；30（2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；解：（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为y＝kx＋b.∵点（30，210）（60，300）在函数图象上，∴解得∴函数的解析式为y＝3x＋120（30≤x≤60）.（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数.解：（3）10天【解析】由（1）可知，甲单独干了30天，挖掘的长度为300－210＝90（m），甲的工作效率为3m/天.已知前30天是甲、乙合作共挖掘了210m，则乙单独挖掘的长度为210－90＝120（m）.当甲挖掘的长度是120m时，工作天数为120÷3＝40（天），所以乙组已停工的天数是40－30＝10（天）.本题考查了一次函数的实际应用，解决此类问题需结合题意分析图象，明确图象上拐点的意义，从图象中准确获取信息是解题的关键.结合图象分析题意可知，第一段图象是甲、乙合作时y关于x的函数图象，第二段是乙停工后甲单独挖掘时y关于x的函数图象.甲、乙合作了30天，甲又单独挖掘了30天，因此甲比乙多挖掘了30天；乙停工后y关于x的函数图象是端点为（30，210），（60，300）的线段，利用待定系数法即可求解；根据图象信息可以求出甲队和乙队的挖掘量，然后求出甲队在同等工作量的条件下实际工作的天数，减去合作的天数得到答案.跟踪训练（2023绍兴）一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米.甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行.如图，其中OA，BC分别表示甲、乙两机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象.解：（1）由图象可知，OA所在直线为正比例函数，设y＝kx.将点A（5，1000）代入，可得1000＝5k.解得k＝200.∴OA所在直线的表达式为y＝200x.（1）求OA所在直线的表达式.（2）出发后甲机器人行走多长时间，与乙机器人相遇？解：（2）由图可知，甲机器人的速度为1000÷5＝200（米/分钟），乙机器人的速度为1000÷10＝100（米/分钟）.∴两人相遇的时间为＝（分钟）.答：出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇.（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离.解：（3）设甲机器人行走t分钟时到P地，P地与M地的距离为200t，则乙机器人（t＋1）分钟后到P地，P地与M地的距离1000－100（t＋1）.根据题意，得200t＝1000－100（t＋1）.解得t＝3.∴200t＝600.答：P，M两地间的距离为600米.考点二方案选取型问题例2（2020河南）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下.方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠.设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x＋b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x.其函数图象如图所示.（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义.解：（1）∵y1＝k1x＋b的图象过点（0，30）和点（10，180），∴解得k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元，b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元.（2）求打折前的每次健身费用和k2的值.解：（2）打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元）.∴k2＝25×0.8＝20.解：（3）解法一：选择方案一所需费用更少.理由如下：由（1）知，y1＝15x＋30.由（2）知，y2＝20x.当y1＝y2时，即15x＋30＝20x.解得x＝6.∴结合题中函数图象可知，小华暑期前往该俱乐部健身8次，选择方案一所需费用更少.（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由.解法二：选择方案一所需费用更少.理由如下：由（1）知，y1＝15x＋30.由（2）知，y2＝20x.当x＝8时，y1＝15×8＋30＝150，y2＝20×8＝160.∵150＜160，∴y1＜y2.∴选择方案一所需费用更少.本题考查了一次函数应用的方案选取问题，分析图象，利用待定系数法求出解析式.利用方程与不等式或结合函数图象进行选取.跟踪训练（2023新疆）随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出了不同的购物优惠方案，如下表：A超市B超市优惠方案所有商品按八折出售购物金额每满100元返30元（1）当购物金额为80元时，选择超市（填“A”或“B”）更省钱；当购物金额为130元时，选择超市（填“A”或“B”）更省钱.AB（2）若购物金额为x（0≤x＜200）元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？解：（2）当0≤x＜100时，A超市按八折优惠，B超市不优惠，∴选择A超市更省钱.（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为20％（注：优惠率＝×100％）.若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明.当100≤x＜200时，A超市购物金额的函数解析式为y＝0.8x，B超市购物金额的函数解析式为y＝x－30，若0.8x＜x－30，即150＜x＜200时，选择A超市更省钱；若0.8x＝x－30，即x＝150时，A，B两超市花费一样多；若0.8x＞x－30，即100≤x＜150时，选择B超市更省钱.解：（3）不一定.例如：当B超市购物100元，返30元，相当于打7折，即优惠率为×100％＝30％，当B超市购物120元，返30元，则优惠率为×100％＝25％，∴在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大.考点三方案设计型问题例3（2022河南）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格.解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元.根据题意，得＝＋3.解得x＝20.经检验，x＝20是原方程的解.答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元.（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠.求本次购买最少花费多少钱.解：（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100－m）捆.∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，∴m≤100－m.解得m≤50.设本次购买花费w元.∴w＝20×0.9m＋30×0.9（100－m）＝－9m＋2700.∵－9＜0，∴w随m的增大而减小.∴m＝50时，w取最小值，最小值为－9×50＋2700＝2250（元）.答：本次购买最少花费2250元.本题考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，寻找题目中的等量关系，列出方程及函数关系式.跟踪训练（2021河南）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销，小李在某网店选中了A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如下表：类别价格A款玩偶B款玩偶进货价（元/个）4030销售价（元/个）5645（1）第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个？解：（1）设A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进（30－x）个，根据题意，得40x＋30（30－x）＝1100.解得x＝20.30－20＝10（个）.答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个.（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？解：（2）设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进（30－a）个，获利y元，根据题意，得y＝（56－40）a＋（45－30）×（30－a）＝a＋450.∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，∴a≤（30－a），即a≤10.∵y＝a＋450，且k＝1＞0，∴y随a的增大而增大.∴当a＝10时，y最大值＝460元.∴B款玩偶为30－10＝20（个）.答：按照A款玩偶购进10个，B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元.（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？（注：利润率＝×100％）解：（3）第一次的利润率＝×100％≈42.7％，第二次的利润率＝×100％＝46％.∵46％＞42.7％，∴对于小李来说第二次的进货方案更合算.（2023广西）【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中的杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务.【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0＋m）·l＝M·（a＋y），其中秤盘质量为m0克，重物质量为m克，秤砣质量为M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米.【方案设计】目标：设计简易杆秤.设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米.任务一：确定l和a的值.（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；解：（1）由题意，得m＝0，y＝0.∵m0＝10，M＝50，∴10l＝50a.∴l＝5a.（2）由题意，得m＝1000，y＝50.∴（10＋1000）l＝50（a＋50）.化简，得101l－5a＝250.（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；（3）由（1）（2），可得解得（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值.任务二：确定刻线的位置.（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离.（4）由（3）可知，l＝2.5，a＝0.5.∴2.5（10＋m）＝50（0.5＋y）.∴y＝m.（5）相邻刻线间的距离为5厘米.素养落地模型观念、应用意识、创新意识