2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第三章函数第9讲平面直角坐标系及函数的基本知识知识通关考点通关素养通关本课时常考的知识点有两个：1.平面直角坐标系中点的坐标，此考点考查坐标平面内点的坐标特征、图形的平移、旋转对称及坐标系中点规律的探索，多以选择题型出现，属中等难度，10年8考，分值3分.2.函数图象的分析与判断，主要考查几何图形中动点问题的函数图象的判断，10年4考，以选择题型出现，分值3分.考点一平面直角坐标系中点的坐标例1（2022河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（）BA.（，－1）B.（－1，－）C.（－，－1）D.（1，）【解析】∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，∴OA＝AB＝2，∠BAO＝60°.∵AB∥x轴，∴∠APO＝90°.∴∠AOP＝30°.∴AP＝1，OP＝.∴A（1，）.如图，将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可得点A2与D重合.由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环.∵2022÷4＝505……2，∴点A2022与点A2重合.∵点A2与点A关于原点O对称，∴A2（－1，－）.∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为（－1，－）.故选B.本题主要考查了正六边形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，根据旋转的性质确定每4次为一个循环是解题的关键.由正六边形的性质，可得A（1，），再由360°÷90°＝4，可得每4次为一个循环，由2022÷4＝505……2，可得点A2022与点A2重合，求出点A2的坐标可得答案.跟踪训练（2023日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”.据传，他在计算1＋2＋3＋4＋…＋100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1＋2＋3＋4＋…＋100＝.人们借助于这样的方法，得到1＋2＋3＋4＋…＋n＝（n是正整数）.有下列问题，如图，在平面直角坐标系中有一系列格点Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3，…，n，…，且xi，yi是整数.记an＝xn＋yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，－1），即a3＝0，……，以此类推，则下列结论正确的是（）BA.a2023＝40B.a2024＝43C.＝2n－6D.＝2n－4【解析】第1圈有1个点，即A1（0，0），这时a1＝0；第2圈有8个点，即A2到A9（1，1），这时a9＝1＋1＝2；第3圈有16个点，即A10到A25（2，2），这时a25＝2＋2＝4；……依次类推，第n圈，（n－1，n－1）.由以上规律可知，A2023是在第23圈上，且A2025（22，22）.所以A2023（20，22），即a2023＝20＋22＝42，故选项A不正确；A2024是在第23圈上，且A2024（21，22），即a2024＝21＋22＝43，故选项B正确；第n圈，（n－1，n－1），所以＝2n－2，故选项C，D均不正确.故选B.考点二函数图象的分析与判断例2（2023河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x，＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A图1图2A.6B.3C.4D.2【解析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点为O，再从点O沿直线运动到顶点B.结合图象可知，当点P在AO上运动时，＝1.∴PB＝PC，AO＝2.又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC.∴△APB≌△APC（SSS）.∴∠BAO＝∠CAO.∴∠BAO＝∠CAO＝30°.当点P在OB上运动时，由图象可知，点P到达点B时的路程为4.∴OB＝2.∴AO＝OB＝2.∴∠BAO＝∠ABO＝30°.过点O作OD⊥AB于点D.∴AD＝BD，则AD＝AO·cos30°＝3.∴AB＝AD＋BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6.故选A.跟踪训练（2018河南）如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B.图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A.B.2C.D.2C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC＝BC.当点F在线段AD上运动时，△FBC的面积不变，且AD＝a.如图，过点D作DH⊥BC于点H，则×a×DH＝a.解得DH＝2.当点D在线段BD上运动时，△FBC的面积逐渐减小，则线段BD＝a＋－a＝.在Rt△DHB中，根据勾股定理，得BH＝＝1.∴HC＝a－1.在Rt△DHC中，∵DC2＝DH2＋HC2，∴a2＝22＋（a－1）2.解得a＝.故选C.例3（2023锦州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，在△DEF中，DE＝DF＝5，EF＝8，BC与EF在同一条直线上，点C与点E重合.△ABC以每秒1个单位长度的速度沿线段EF所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，△ABC停止运动.设运动时间为t秒，△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）AABCD【解析】如图1，过点D作DH⊥EF于点H.∵DE＝DF＝5，EF＝8，∴EH＝FH＝EF＝4.∴DH＝＝3.当0≤t＜4时，图1如图2，重叠部分为△EPQ，此时EQ＝t，PQ∥DH，∴△EPQ∽△EDH，∴＝，即＝，解得PQ＝t，图2∴S＝t×t＝t2，函数图象是顶点为原点且开口向上的抛物线的一部分；当4≤t＜8时，如图3，重叠部分为四边形PQC'B'，此时BB'＝CC'＝t，PB'∥DE，图3∴B'F＝BC＋CF－BB'＝12－t，C'F＝8－t，∵PB'∥DE，∴△PB'F∽△DEF，∴＝，又S△DEF＝×8×3＝12，∴＝，∴S△PB'F＝（12－t）2，∵DH⊥EF，∠A'C'B'＝90°，∴A'C'∥DH，∴△C'QF∽△HDF，∴＝，即＝，∴S△C'QF＝（8－t）2，∴S＝S△PB'F－S△C'QF＝（12－t）2－（8－t）2＝－t2＋t＋3，函数图象是开口向下的抛物线的一部分；当8≤t＜12时，如图4，重叠部分为△PFB'，此时BB'＝CC'＝t，PB'∥DE，∴B'F＝BC＋CF－BB'＝12－t，∵PB'∥DE，∴△PB'F∽△DEF，∴＝，即＝，图4∴S＝S△PB'F＝（12－t）2，函数图象是开口向上的抛物线的一部分.故选A.本题考查了动点问题的函数图象的判断，函数图象是典型的数形结合，图象包含信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.分0≤t≤4，4＜t≤8，8＜t≤12三个阶段，求出对应的y与x之间函数关系式，进而判断函数的图象.跟踪训练（2023绥化）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿折线A－B－C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度的速度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）AABCD【解析】如图1，连接BD，过点B作BE⊥AD于点E.在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，∴AB＝AD，△ABD是等边三角形.∴AE＝ED＝AD＝2，BE＝AE＝2.当0≤t≤2时，点M在AB上，如图1，∵AM＝2x，AN＝x，∴＝＝2，∵∠A＝∠A，∴△AMN∽△ABE，图1∴∠ANM＝∠AEB＝90°，∴MN＝＝x，∴y＝x·x＝x2，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当2＜t≤4时，点M在BC上，如图2，y＝AN·BE＝x×2＝x，函数图象为y随x的增大而增大的一次函数图象的一部分.故选A.图2如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，……，照此规律作下去，则点B2023的坐标为（）BA.（－21010，21010）B.（21012，0）C.（－22020，－22020）D.（－21010，－21010）【解析】由题意知，对角线OB每次逆时针旋转45°，8次一个循环，且每次增长为原来的倍.所以OB1＝（）2，OB2＝（）3，OB3＝（）4，OB4＝（）5，……OB2023＝（）2024＝21012.又2023÷8＝252……7，∴点B2023在x轴正半轴上.∴点B2023坐标为（21012，0）.故选B.本题考查了点的变化规律，发现变化规律是解题关键.素养落地数形结合、直观想象、逻辑推理