2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第21讲锐角三角函数及其应用第四章三角形知识通关考点通关素养通关本讲考点在近十年河南中考中均以解答题（第18，19或20题位置）的形式呈现，取材现实生活，2019～2022年呈现以河南文化建筑为背景的趋势，分值为9分.涉及角度多为一个特殊角和一个非特殊角（共考查8次）.考查的模型有“背对背”模型（10年3考）、“母子”型（10年7考）等.考点一俯角、仰角问题例1（2022河南）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑.某数学小组想测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度.（结果精确到1m，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）解：如图，延长EF交DC于点H.由题意，得∠DHF＝90°，EF＝AB＝15m，CH＝BF＝AE＝1.5m.设DH＝xm.在Rt△DFH中，∠DFH＝45°，∴FH＝DH＝xm.在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，∴tan34°＝＝.∴EH＝.∵EF＝EH－FH＝15，即－x＝15.解得x≈30.5.∴DC＝DH＋CH＝30.5＋1.5≈32（m）.∴拂云阁DC的高度约为32m.审题、分析题意，将已知量和未知量弄清楚，明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等.若所给三角形是直角三角形，确定合适的边角关系进行计算；若不是直角三角形，可尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形问题进行解决.此外，在测量问题中往往会涉及测角仪等与计算无关的数据，在求建筑物的高度时不要忽略这些数据.跟踪训练（2020河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°，测角仪的高度为1.6m.（1）求观星台最高点距离地面的高度（结果精确到0.1m，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；解：（1）如图，过点A作AD⊥PM于点D，延长BC交AD于点E，则四边形BMNC，四边形BMDE都是矩形.∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m.∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形.∴CE＝AE.设AE＝CE＝x，则BE＝16＋x.∵∠ABE＝22°，∴tan22°＝＝≈0.40.解得x≈10.7（m）.∴AD＝AE＋ED＝10.7＋1.6＝12.3（m）.答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m.（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m.请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.解：（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，∴本次测量结果的误差为12.6－12.3＝0.3（m）.减小误差的合理化建议：为了减小误差，可以通过多次测量取平均值的方法.考点二方位角问题例2（2022威海）小军同学想利用所学“锐角三角函数”的知识测量一段两岸平行的河流宽度.他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M.测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°.请你依据所测数据求出这段河流的宽度.（结果精确到0.1m，参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）解：如图，过点M作MN⊥AB，垂足为点N.设MN＝xm.在Rt△ANM中，∠MAB＝22°，∴AN＝≈＝x（m）.在Rt△MNB中，∠MBN＝67°，∴BN＝≈＝x（m）.∵AB＝50m，∴AN＋BN＝50，即x＋x＝50.解得x≈17.1.答：这段河流的宽度约为17.1m.本题考查了解直角三角形的应用，作高线构造出直角三角形，是解题的关键.跟踪训练（2023重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B两处养殖场捕捞海产品.经测量，A养殖场在灯塔C的南偏西60°方向，B养殖场在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3600米.（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝3600米，cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝3600×＝1800（米），CD＝×3600＝1800（米）.在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴∠B＝45°＝∠BCD.∴BD＝CD＝1800（米）.∴BC＝＝1800≈1800×1.414≈2545（米）.答：B养殖场与灯塔C的距离约为2545米.（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：≈1.414，≈1.732）解：（2）AB＝AD＋BD＝1800＋1800≈1800×1.732＋1800≈4917.6（米），600×9＝5400（米），∵5400米＞4917.6米，答：甲组能在9分钟内到达B处.考点三实际应用问题例3（2022湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片.某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动.小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中≈0.618）：伞柄AH始终平分∠BAC，AB＝AC＝20cm，当∠BAC＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC＝90°.请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：≈1.732）解：如图，作BE⊥AH于点E.∵∠BAC＝120°，AH平分∠BAC，∴∠BAE＝60°.∴AE＝AB·cos60°＝20×＝10（cm），BE＝AB·sin60°＝20×＝10≈17.32（cm）.∵BD＝CD，∠BDC＝90°，∴∠BDE＝45°.∴DE＝BE＝17.32cm.∴AD＝AE＋DE＝10＋17.32＝27.32（cm）.∵≈0.618，即≈0.618，解得AH≈72（cm）.答：最少需要准备72cm长的伞柄.本题主要考查解直角三角形的应用，学会建模，构造直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键.再利用等腰直角三角形的性质得出DE，然后根据黄金分割比例关系求出AH的长度即可.跟踪训练（2023成都）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1米，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）解：如图，过A作AT⊥BC于点T，AK⊥CE于点K.在Rt△ABT中，BT＝AB·sin∠BAT＝5×sin16°≈1.4（米），AT＝AB·cos∠BAT＝5×cos16°≈4.8（米），∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，∴四边形ATCK是矩形.∴CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC－BT＝4－1.4＝2.6（米）.在Rt△AKD中，∵∠ADK＝45°，∴DK＝AK＝2.6米.∴CD＝CK－DK＝4.8－2.6＝2.2（米）.答：阴影CD的长约为2.2米.（2023湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒.图问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的☉O.如图2，OM始终垂直于水平面，设筒车的半径为2米.当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处.问题解决：（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒，∴每秒转过360°÷120＝3°.∴∠BOM＝360°－3°×95－30°＝45°.图2答：该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米.（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离.（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）图2解：（2）如图，过点B，A分别作OM的垂线，垂足分别为点C，D.在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米，∴OD＝OA＝（米）.在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米，∴OC＝OB＝（米）.∴CD＝OD－OC＝－≈0.3（米）.素养落地抽象能力、模型观念、应用意识