2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第四章三角形微专题8“一线三等角”模型“一线三等角”模型是指有三个等角的顶点在同一条直线上的相似模型，也叫“K型”.三个等角可以是锐角、钝角或直角.特殊地，当三个等角为直角时也称为“一线三垂直模型”或“三垂模型”.模型一“一线三等角”——锐角、钝角模型特征图示模型分析同侧型（当点C在线段BD上时）锐角已知：∠B＝∠ACE＝∠D＝α.结论：①△ABC∽△CDE；②全等型：若AC＝CE，则△ABC≌△CDE；③若直线AB与直线DE相交于点F，则当α＜90°时，∠BFD＝180°－2α，则当α＞90°时，∠BFD＝2α－180°模型特征图示模型分析同侧型（当点C在线段BD上时）钝角已知：∠B＝∠ACE＝∠D＝α.结论：①△ABC∽△CDE；②全等型：若AC＝CE，则△ABC≌△CDE；③若直线AB与直线DE相交于点F，则当α＜90°时，∠BFD＝180°－2α，则当α＞90°时，∠BFD＝2α－180°模型特征图示模型分析穿越型（当点C在线段BD的延长线上时）锐角已知：∠1＝∠2＝∠3＝α.结论：①△ABC∽△CDE；②全等型：若AC＝CE，则△ABC≌△CDE；③若直线AB与直线DE相交于点F，则当α＜90°时，∠BFD＝180°－2α，当α＞90°时，∠BFD＝2α－180°模型特征图示模型分析穿越型（当点C在线段BD的延长线上时）钝角已知：∠1＝∠2＝∠3＝α.结论：①△ABC∽△CDE；②全等型：若AC＝CE，则△ABC≌△CDE；③若直线AB与直线DE相交于点F，则当α＜90°时，∠BFD＝180°－2α，当α＞90°时，∠BFD＝2α－180°模型练习1.（2023东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（）A.1.8B.2.4C.3D.3.2C【解析】∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°.∴∠CAD＋∠ADC＝120°.∵∠ADE＝60°，∴∠BDE＋∠ADC＝120°.∴∠CAD＝∠BDE.∴△ADC∽△DEB.∴＝.∵BD＝4DC，∴设DC＝x，则BD＝4x.∴BC＝AC＝5x.∴＝，即AD＝3.故选C.2.如图，点D是等边三角形ABC的边AB上一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE∶CF的值为.模型特例模型特征若C为BD的中点，连接AE锐角钝角‘模型分析已知：∠B＝∠ACE＝∠D＝α.结论：△ABC∽△CDE∽△ACE模型练习3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D，F分別在边AB，AC上.（1）求证：△BDE∽△CEF；证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，又∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF.∴△BDE∽△CEF.（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.证明：（2）∵△BDE∽△CEF，∴＝.∵点E是BC的中点，∴BE＝CE.∴＝.∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF.∴∠DFE＝∠CFE.∴FE平分∠DFC.模型二“一线三垂直”全等型相似型模型分析同侧型已知：∠1＝∠2＝∠3＝90°，结论：①相似型：△ABD∽△CEB；②全等型：若BD＝BE，则△ABD≌△CEB全等型相似型模型分析穿越型已知：∠1＝∠2＝∠3＝90°，结论：①相似型：△ABD∽△CEB；②全等型：若BD＝BE，则△ABD≌△CEB全等型相似型模型分析模型应用“一线三垂直”模型常应用于正方形、矩形、平面直角坐标系、圆等与直角有关的图形中.解题时若遇“一线三直角”可直接应用此模型，若遇“一线两直角”或“一直角”，则考虑补形构造此模型模型练习4.如图，l1，l2，l3，l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离均为，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，则正方形ABCD的边长是.第4题图55.（2023重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为.第5题图3【解析】先证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，进一步可得EF的长.6.（2023邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.（1）证明：△ABC∽△DEB；解：（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°.∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°.∴∠C＝∠DBE.∴△ABC∽△DEB.（2）求线段BD的长.解：（2）由（1）知，△ABC∽△DEB.∴＝，即＝.∴BD＝3.综合练习7.（2023威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上.点A的坐标为（m，2）.连接OA，OB，AB，若OA＝AB，∠OAB＝90°，则k的值为.2－2【解析】如图，过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交MA的延长线于点N.∵∠MOA＋∠MAO＝90°，∠NAB＋∠MAO＝90°，∴∠MOA＝∠NAB.∵∠AMO＝∠ANB＝90°，AO＝AB，∴△AMO≌△BNA（AAS）.∴AM＝NB＝m，MO＝AN＝2.∵A（m，2），∴B（m＋2，2－m）.∵点A，B都在反比例函数上，∴2m＝（m＋2）（2－m）.解得m1＝－1＋，m2＝－1－（舍去）.∴点A的坐标为（－1＋，2）.∴k＝xy＝2（－1）＝2－2.故答案为2－2.8.（1）问题发现：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD垂直直线m，CE垂直直线m，垂足分别为点D，E.试写出线段DE，BD和CE之间的数量关系：.图1DE＝BD＋CE（2）思考探究：如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角.请问（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.图2解：（2）（1）中结论还成立.理由如下：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α.∴∠DBA＝∠CAE.在△ADB和△CEA中，​∴△ADB≌△CEA（AAS）.∴AE＝BD，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.（3）拓展应用：如图3，点D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由.图3解：（3）△DEF是等边三角形.理由如下：由（2）可知，△ADB≌△CEA.∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE.∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF.∴∠DBA＋∠ABF＝∠CAE＋∠CAF，即∠DBF＝∠EAF.在△DBF和△EAF中，∴△DBF≌△EAF（SAS）.∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE.∴∠DFE＝∠DFA＋∠AFE＝∠DFA＋∠BFD＝60°.∴△DEF为等边三角形.