2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础第五章四边形第23讲特殊的平行四边形第三节正方形知识通关考点通关考点一正方形的性质例1（2023湘潭）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具.某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为dm2.2正方形的性质常与其他图形知识综合考查，本题考查了正方形的性质、勾股定理和七巧板求正方形面积，根据正方形的性质和七巧板的特点，可以求得阴影部分正方形的边长，然后得到其面积.跟踪训练如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝2.（1）如图1，正方形ABCD的周长为，∠ABO＝，AO＝；845°图（2）如图2，若以AD为边作等边△AED，连接EC，则∠DEC＝；图215°（3）如图3，若点P是AC上一动点，则BP的最小值是；图3（4）如图4，若点E是BC的中点，点P是AC上一动点（点P与点A，C不重合），则△BPE周长的最小值是.图41＋考点二正方形的判定例2（2022邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA，求证：四边形AECF是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF.∴四边形AECF是菱形.∵OE＝OA，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC.∴菱形AECF是正方形.跟踪训练如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D.当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？请给出证明.解：当△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形.证明如下：∵CD平行MN，∴∠OCB＝∠CBM.∵BC平分∠ABM，∴∠OBC＝∠CBM.∴∠OCB＝∠OBC.∴OC＝OB.同理可证OB＝OD.∴OA＝OB＝OC＝OD.∵CD＝OC＋OD，AB＝OA＋OB，∴AB＝CD.∴四边形ACBD是矩形.∵CB＝BD，∴四边形ACBD是正方形.考点三正方形中的图形变换例3（2023湖北）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM.（1）求证：∠AMB＝∠BMP；解：（1）由翻折和正方形的性质，可得∠EMP＝∠EBC＝90°，EM＝EB.∴∠EMB＝∠EBM.∴∠EMP－∠EMB＝∠EBC－∠EBM，即∠BMP＝∠MBC.∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC.∴∠AMB＝∠MBC.∴∠AMB＝∠BMP.（2）若DP＝1，求MD的长.解：（2）如图，延长MN，BC交于点Q.∵AD∥BC，∴△DMP∽△CQP.又∵DP＝1，正方形ABCD的边长为3，∴CP＝2.∴＝＝＝.∴QC＝2MD，QP＝2MP.设MD＝x，则QC＝2x.∴BQ＝3＋2x.∵∠BMP＝∠MBC，即∠BMQ＝∠MBQ，∴MQ＝BQ＝3＋2x.∴MP＝MQ＝.在Rt△DMP中，MD2＋DP2＝MP2，∴x2＋12＝.解得x1＝0（舍），x2＝.∴MD＝.本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.跟踪训练如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（－3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）DA.（10，3）B.（－3，10）C.（10，－3）D.（3，－10）考点四正方形中的“十字型”例4如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G.（1）求证：AE＝BF；解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°.∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵AE⊥BF，垂足为点G，∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BAE＝∠CBF.在△ABE与△BCF中，∴△ABE≌△BCF（ASA）.∴AE＝BF.（2）若BE＝，AG＝2，求正方形的边长.解：（2）∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°.∵AE⊥BF，∴∠BGE＝∠ABE＝90°.∵∠BEG＝∠AEB，∴△BGE∽△ABE.∴＝，即BE2＝EG·AE.设EG＝x，则AE＝AG＋EG＝2＋x.∴（）2＝x·（2＋x）.解得x1＝1，x2＝－3（不合题意舍去）.∴AE＝3.∴AB＝＝＝.跟踪训练如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G.（1）求证：矩形ABCD为正方形；解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°.∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°.∴∠BAF＋∠DAF＝90°，∠ADE＋∠DAF＝90°.∴∠BAF＝∠ADE.在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE（AAS）.∴AB＝AD.∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形.（2）若AE∶EB＝2∶1，△AEG的面积为4，则四边形BEGF的面积是.9变式训练【感知】如图1，在正方形ABCD中，点E为边AB上一点（点E不与点A，B重合），连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，易证：DE＝AF.（不需要证明）【探究】如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别为边AB，CD上的点（点E，F不与正方形的顶点重合），连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为点O.若E为AB的中点，DF＝1，AB＝4，求GH的长.解：【探究】如图，分别过点A，D作AN∥GH，DM∥EF，分别交BC，AB于点N，M.∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠DAB＝∠B＝90°.∴四边形DMEF是平行四边形.∴ME＝DF＝1，DM＝EF.∵AN∥GH，GH⊥EF，∴DM⊥GH.同理，可得四边形AGHN是平行四边形.∴GH＝AN.∵DM∥EF，GH⊥EF，∴AN⊥DM.∴∠DAN＋∠ADM＝90°.∵∠DAN＋∠BAN＝90°，∴∠ADM＝∠BAN.在△ADM和△BAN中，∴△ADM≌△BAN（ASA）.∴DM＝AN.∴EF＝GH.∴DM＝GH.∵点E为AB的中点，∴AE＝AB＝2.∴AM＝AE－ME＝2－1＝1.∴DM＝＝＝.∴GH＝.【应用】如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝CF，BF，AE相交于点G.若AB＝3，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3，则△ABG的面积为，△ABG的周长为.＋3