2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第一部分：夯实基础微专题10最短路径模型第七章图形的变化题型一“将军饮马”模型模型背景：古希腊有一个著名的“将军饮马”问题，大致内容如下：古希腊有一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B.他总是先从A营出发，先到河边饮马，之后，再巡查B营.如图1，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.确定最近行程的饮马点P，可以通过轴对称变换的思想解决，如图2，作点A关于直线l的对称点A1，连接A1B，交直线l于点P1，那么点P1就是所求的点.图1图2利用“将军饮马”问题的方法解决下面问题：最短路径问题模型分析图形展示解决方案结论两定点A，B位于直线l的异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小两点之间，线段最短.PA＋PB的最小值即为线段AB的长最短路径问题模型分析图形展示解决方案结论两定点A，B位于直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小将同侧两定点化为异侧两定点问题，同上即可解决.模型练习1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为AC上一点，且AE＝，AD平分∠BAC交BC于点D.若P是AD上的动点，则PC＋PE的最小值等于.【解析】如图，作点E关于AD的对称点E'，连接CE'交AD于点P'，连接EP'，此时EP'＋CP'的值最小.作CH⊥AB于点H.∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10.∴CH＝＝.∴AH＝＝＝.∵AE'＝AE＝，∴E'H＝AH－AE'＝2.∴P'C＋P'E＝CP'＋P'E'＝CE'＝＝＝.故答案为.2.（2023广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为cm.（杯壁厚度不计）10【解析】如图，将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B'，连接B'A，则B'A即为最短路程.∴B'A＝＝＝10（cm）.故答案为10.模型迁移1：最短路径问题迁移模型分析图形展示解决方案结论点P是∠AOB内的一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小（一定两动）根据“两点之间，线段最短”，将△PMN的周长转化为求P'M＋MN＋P″N的长，即点P'，M，N，P″四点共线时值最小模型练习3.点P是∠AOB内一定点，点M，N分别在边OA，OB上运动，若∠AOB＝45°，OP＝3，则当△PMN的周长最小时，∠MPN＝，△PMN的周长最小值为.90°6【解析】如图，作点P关于OA，OB的对称点C，D，连接OC，OD，则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长.∵点P，C关于OA对称，∴∠COP＝2∠AOP，OC＝OP.同理，∠DOP＝2∠BOP，OP＝OD.∴∠COD＝∠COP＋∠DOP＝2（∠AOP＋∠BOP）＝2∠AOB＝90°，OC＝OD.∴△COD是等腰直角三角形.∴CD＝OC＝×3＝6.∴∠OCD＝∠ODC＝45°.∴∠OPM＝∠OCM＝45°，∠OPN＝∠ODN＝45°.∴∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝90°.故答案为90°，6.4.如图，在△ABC中，∠A＝50°，点O为△ABC内一点，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为点M，N，点P为AM上一动点，点Q为AN上一动点，连接OP，OQ，PQ，当△OPQ的周长最小时，∠POQ的度数为（）A.50°B.60°C.70°D.80°D【解析】如图，延长OM到点E，使EM＝OM，延长ON到点F，使FN＝ON，连接EF交AC于点P，交AB于点Q，此时，△OPQ的周长最小.∵OM⊥AC，ON⊥AB，∴∠OMA＝∠ONA＝90°，PO＝PE，OQ＝FQ.∴∠E＝∠EOP，∠F＝∠FOQ.∵∠A＝50°，∴∠MON＝360°－90°－90°－50°＝130°.∴∠E＋∠F＝50°.∴∠POQ＝∠MON－∠MOP－∠NOQ＝130°－50°＝80°.故选D.5.如图，直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2.点P是反比例函数图象上一点，且横坐标为4，点M，N分别是直线y＝x和x轴上的动点，求使△PMN周长最小时，点M，N的坐标.解：∵点A是反比例函数y＝的图象上一点，如图，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，∴S△AOB＝｜k｜＝2.∴｜k｜＝2×2＝4.∵图象在第一象限，∴k＝4.∴反比例函数y＝（x＞0）.把x＝4代入得y＝1.∴P（4，1）.如图，作点P关于直线y＝x的对称点C，则C为（1，4），作点P关于x轴的对称点D，则D为（4，－1），连接CD交直线y＝x于点M，交x轴于点N，此时△PMN的周长最小.最小值为CD的长.设直线CD的解析式为y＝mx＋n，则解得∴直线CD的解析式为y＝－x＋.令y＝0，则－x＋＝0，解得x＝.∴N（，0）.令x＝－x＋，解得x＝.∴M（，）.模型迁移2：最短路径问题迁移模型分析图形展示解决方案结论点P，Q是∠AOB内的两个定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得四边形PQNM的周长最小（两定两动）根据“两点之间，线段最短”，将四边形PQMN的周长转化为求P'M＋MN＋Q'N＋PQ的长，即点P'，M，N，Q'四点共线时值最小最短路径问题迁移模型分析图形展示解决方案结论已知直线a∥b，点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N为直线a，b上的动点，且MN⊥a，求AM＋MN＋NB的最小值利用“两点之间，线段最短”可得AM＋MN＋NB的最小值为A'B＋MN.模型练习6.已知M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的定点.（1）如图1，若∠O＝∠OMN，过M作射线MD∥OB（如图），点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于点E.试探究∠MEN与∠MCN的数量关系.图解：（1）设∠O＝∠OMN＝α.∴∠MNB＝2α.∵MD∥OB，∴∠AMD＝α.∵NE平分∠MNC，∴∠MNE＝∠ENC.设∠MNE＝β.∴∠CNB＝2α－2β.∵MD∥OB，∴∠MCN＝2α－2β.∴∠EMC＋∠MEN＝∠ENC＋∠MCN.∴β＋2α－2β＝α＋∠MEN.∴∠MEN＝α－β.∴2∠MEN＝∠MCN.图1（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点.∠AOB＝20°，当MP＋PQ＋QN取得最小值时，求∠OPM＋∠OQN的值.图2备用图解：（2）如图，作点M关于OB的对称点M'，点N关于OA的对称点N'，连接M'N'与OB，OA分别交于点P，点Q，连接ON'，OM'.∴MP＋PQ＋QN＝M'N'，此时MP＋PQ＋QN的值最小.由对称性可知，∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM.∴∠OPM＝∠AOB＋∠OQP＝∠AOB＋（180°－∠OQN'）.∵∠AOB＝20°，∴∠OPM＝200°－∠OQN'.模型延伸练习7.如图，已知点A（1，1），B（2，－3），点P为x轴上一点，当｜PA－PB｜最大时，求点P的坐标.解：如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC并延长交x轴于点P.∵A（1，1），∴C（1，－1）.设直线BC的解析式为y＝kx＋b，则∴∴直线BC的解析式为y＝－4x＋5.当y＝0时，x＝.∴点P的坐标为（，0）.当B，C，P三点不共线时，根据三角形三边的关系，可得｜PA－PB｜＝｜PC－PB｜＜BC.∴此时｜PA－PB｜＝｜PC－PB｜＝BC取得最大值.∴当｜PA－PB｜最大时，点P的坐标为（，0）.题型二“胡不归”模型模型背景：从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路.由于回家心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭.邻居劝慰小伙子时告诉他说，老人在弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”.这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归”问题.最短路径问题模型分析图形展示解决方案结论条件：点A，B为定点，点P为射线AC上一个动点，点P在何处时，BP＋AP（＜1）最短化折线为直线使得AP＋BP＝BH，利用“垂线段最短”转化为求BH的长模型练习8.如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，点P为AC边上的一个动点（不与A，C重合），连接BP，则AP＋PB的最小值是.【解析】如图，在△ABC内作∠MBA＝30°.过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P.∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°.∴EP＝AP.当BP⊥AE时，AP＋PB＝PE＋PB的值最小，最小值是BE的长.在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2.∴BE＝AB·cos30°＝.故答案为.题型三与圆有关的最值9.如图，已知菱形ABCD中，AB＝5，∠B＝60°，☉A的半径为2，☉B的半径为3，点E，F分别为☉A，☉B上的动点，点P为DC边上的动点，则PE＋PF的最小值为.5【解析】如图，连接AC，当点P与点C重合时，点F在BC上，点E在AC上，此时PE＋PF的值最小.∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，∠B＝60°，∴AC＝5.∵☉A的半径为2，∴EC＝3.∵☉B的半径为3，∴FC＝2.∴PE＋PF＝5.故答案为5.模型练习10.（2023菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为.－2【解析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交☉O于F'，证得∠DFA＝90°，于是得到点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与☉O是交点F'时，线段BF有最小值，由AD＝4，可得AO＝2，所以可求得BO＝.所以线段BF的最小值为－2.故答案为－2.模型迁移11.如图，已知△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，EF＝10，顶点D，E分别在边AB，AC上滑动.则在滑动过程中，点A，F间距离的最大值为.5＋5【解析】∵△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，EF＝10，∴DE＝DF＝10.如图，以∠EMD为直角作等腰直角三角形EDM，以M为圆心，AM长为半径作圆，则随着D，E点的运动，A始终在圆M上，∴当A，M，F三点共线时，AF最大.∵AM＝EM，∴AM＝5.∵∠DEF＝∠MED＝45°，∴∠MEF＝90°.∴MF＝5.∴AF＝5＋5.故答案为5＋5.