2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第二部分：专题突破专题八与圆有关的证明与计算类型一与圆的切线有关的证明与计算与圆有关的平面几何证明与计算是河南中考解答题的必考题型，分值为9～10分.2015～2019年均在第17题考查，考查类型主要有以下两种：一是与圆的切线性质和判定有关的证明或计算；二是与圆相结合的特殊四边形的动态探究题.近五年更加注重圆与实际生活的联系，以实际生活中的圆为背景，考查圆的有关概念和性质，如2020年第20题的“三分角器”，2021年第20题的“石磨”，2022年第22题的“铁环”.解答与圆有关的计算、证明：1.要正确应用切线的性质定理，已知切线，作出过切点的半径，构造直角，以便利用勾股定理或三角函数.2.要正确应用圆周角定理及推论，把不同位置的角的数量关系建立起来.3.要正确应用圆心角、弦、弧之间的关系定理，把弧、弦的相等关系转化到角的相等关系上来，或者进一步转化到线段的关系上来.（1）求证：AB＝AC；解：（1）证明：如图，连接OD.∵DE是☉O的切线，∴半径OD⊥DE.∵DE⊥AC，∴OD∥AC.∴∠C＝∠ODB.∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.1.（2023湖北）如图，在△ABC中，以AB为直径的☉O交BC于点D，DE是☉O的切线，且DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交☉O于点F.（2）若AE＝3，DE＝6，求AF的长.解：（2）如图，连接DF，DA.∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，∴∠F＝∠C.∴DF＝DC.∵DE⊥CF，∴FE＝EC.∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠ADC＝90°，即∠ADE＋∠CDE＝90°.∵DE⊥AC，∴∠C＋∠CDE＝90°.∴∠C＝∠ADE.∵∠AED＝∠CDE＝90°，∴△DAE∽△CDE.∴DE∶CE＝AE∶DE.∵AE＝3，DE＝6，∴6∶CE＝3∶6.∴CE＝12.∴EF＝EC＝12.∴AF＝EF－AE＝12－3＝9.2.（2021河南）如图，四边形ACDE内接于☉O，AC为☉O的直径，分别延长AE，CD，交点为B，连接AD，直线PC是☉O的切线.（1）求证：∠PCD＋∠BED＝90°；解：（1）证明：∵直线PC是☉O的切线，∴∠PCD＋∠ACD＝90°.∵四边形ACDE内接于☉O，∴∠AED＋∠ACD＝180°.∵∠AED＋∠BED＝180°，∴∠BED＝∠ACD.∴∠PCD＋∠BED＝90°.（2）若∠BDE＝45°，∠DAE＝15°，求的值.解：（2）如图，连接CE.∵AC为☉O的直径，∴∠AEC＝∠ADC＝90°.∵四边形ACDE内接于☉O，∠BDE＝45°，∴∠EAC＝∠BDE＝45°.∴AC＝AE.∵∠EAC＝45°，∠DAE＝15°，∴∠DAC＝30°.∴AC＝2CD.∴＝.3.（2023广西）如图，PO平分∠APD，PA与☉O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.（1）求证：PB是☉O的切线；解：（1）证明：∵PA与☉O相切于点A，且OA是☉O的半径，∴PA⊥OA.∵PO平分∠APD，OB⊥PD于点B，OA⊥PA于点A，∴OB＝OA.∴点B在☉O上.∵OB是☉O的半径，且PB⊥OB，∴PB是☉O的切线.（2）若☉O的半径为4，OC＝5，求PA的长.解：（2）∵OA＝OB＝4，OC＝5，∴AC＝OA＋OC＝4＋5＝9.∵∠OBC＝90°，∴BC＝＝＝3.∵∠A＝90°，∴＝＝tan∠ACP＝.∴PA＝AC＝×9＝12，即PA的长是12.