2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第二部分：专题突破专题八与圆有关的证明与计算类型二与圆有关的特殊四边形动态探究问题1.（2022江苏模拟）如图，CD是☉O的直径，且CD＝2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作☉O的切线PA，PB，切点分别为点A，B.（1）连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形.解：（1）证明：如图，连接OA，AC.∵PA是☉O的切线，∴OA⊥PA.在Rt△AOP中，∠AOP＝90°－∠APO＝90°－30°＝60°，∴∠ACP＝30°.∴∠ACP＝∠APO∴AC＝AP.∴△ACP是等腰三角形.（2）填空：①当DP＝cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP＝cm时，四边形AOBP是正方形.1－1【解析】①DP＝1cm.理由如下：∵四边形AOBD是菱形，∴OA＝AD＝OD＝1cm.∴∠AOP＝60°.∴OP＝2OA＝2cm∴DP＝OD.∴DP＝1cm.∴当DP＝1cm时，四边形AOBD是菱形.②DP＝（－1）cm.理由如下：∵四边形AOBP是正方形，∴∠AOP＝45°.∵OA＝PA＝1cm，OP＝cm，∴DP＝OP－OD＝OP－1.∴DP＝（－1）cm.∴当DP＝（－1）cm时，四边形AOBP是正方形.2.（2021河南）如图，△ABC内接于圆O，且AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交圆O于点E.（1）求证：△ABE≌△CDE.解：（1）证明：∵AB＝AC，CD＝CA，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD.∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC.∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，∴∠CED＝∠AEB，∴△ABE≌△CDE（AAS）.（2）填空：①当∠ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形；②若AE＝，AB＝2，则DE的长为.60°【解析】①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形.理由如下：如图，连接AO，OC.∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC＋∠AEC＝180°.∵∠ABC＝60°，∴∠AEC＝120°＝∠AOC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形.∴∠ACB＝60°.∵∠ACB＝∠CAD＋∠D，AC＝CD，∴∠CAD＝∠D＝30°.∴∠ACE＝180°－120°－30°＝30°.∴∠OAE＝∠OCE＝60°.∴四边形AOCE是平行四边形.∵OA＝OC，∴四边形AOCE是菱形.②由（1）知，△ABE≌△CDE.∴AE＝CE＝，AB＝CD＝2.∵∠DCE＝∠DAB，∠D＝∠D，∴△DCE∽△DAB.∴＝，即＝.解得DE＝.3.（2022新乡模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的半圆O交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E，连接OD，OE.（1）求证：OE＝AC.解：（1）证明：如图，连接BD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.∵AB＝BC，∴AD＝DC.∵DE∥AB，∴＝＝.∴BE＝CE.∵OA＝OB，∴OE为△ABC的中位线.∴OE＝AC.（2）填空：①当∠A＝°时，四边形AOED是菱形；②当∠A＝°时，四边形OBED的面积最大.6045【解析】①∵AO∥DE，AD∥OE，∴四边形AOED是平行四边形.要使四边形AOED是菱形，则需OA＝AD.∴OA＝OD＝AD.∴△OAD是等边三角形.∴∠A＝60°.②∵OB＝OD，OB∥DE，OD∥BE，∴四边形OBED是菱形.∴S四边形OBED＝2S△OBD.∴当S△OBD最大，即OB边的高最大时，四边形OBED的面积最大.∴当D是半圆AB的中点，即OD⊥OB时，OB边的高最大.∴∠DOB＝90°.∴∠A＝45°.