2024版《突唯》河南中考总复习2024数学第二部分：专题突破专题九方程的应用类型一一次函数图象型问题方程的应用是近10年河南中考考查的热点问题，综合考查方程、函数、不等式等知识.其中一次函数图象型问题考查了2次，方案设计型问题考查了5次，方案选取型问题考查了3次，主要考查数形结合能力和从实际背景中抽象出数学问题的能力.一、一次函数1.求函数的解析式：（1）借助等量关系列出函数的解析式；（2）借助表格中或图象上的数据用待定系数法求出函数的解析式.2.描述图象中点的实际意义时，要弄清横坐标和纵坐标表示的量，先叙述横坐标的意义，再叙述纵坐标的意义.3.实际问题中弄清一次函数中k，b值的实际意义.二、方程方程的考查主要涉及一元一次方程、二元一次方程组和分式方程的实际应用.注意：分式方程需要检验.三、方案的选取和设计1.方案的选取：（1）借助图象进行比较、选取；（2）利用不等式计算后进行比较、选取.2.方案的设计：（1）借助一次函数的增减性求最值；（2）借助二次函数的顶点坐标或增减性求最值.1.某游泳馆普通票价为20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数.设游泳x次时，所需总费用为y元.（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；解：（1）由题意，可得银卡消费y＝10x＋150，普通票消费y＝20x.解：（2）由题意，可得当10x＋150＝20x，解得x＝15，则y＝300，所以B（15，300）；当y＝10x＋150，x＝0时，y＝150，所以A（0，150）；当y＝10x＋150＝600，解得x＝45，所以C（45，600）.（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A，B，C的坐标；解：（3）如图所示，由A，B，C的坐标，可得当0＜x＜15时，普通票消费更划算；当x＝15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当15＜x＜45时，银卡消费更划算；当x＝45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当x＞45时，金卡消费更划算.（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算.2.（2022南通）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示.（1）写出图中点B表示的实际意义；解：（1）图中点B表示的实际意义为当销量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元.（2）分别求甲、乙两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；解：（2）设甲种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝kx（k≠0）.把（60，1200）代入解析式，得1200＝60k.解得k＝20.∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝20x（0≤x≤120）.当0≤x≤30时，设乙种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝k'x（k'≠0），把（30，750）代入解析式，得750＝30k'，解得k'＝25，∴y乙＝25x；当30＜x≤120时，设乙种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝mx＋n（m≠0），则解得∴y乙＝15x＋300.y乙＝综上，乙种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为②当30＜a≤120时，根据题意，得（20－8）a＋（15－12）a＋300＝1500，解得a＝80.综上，a的值为80.解：（3）①当0≤a≤30时，根据题意，得（20－8）a＋（25－12）a＝1500，解得a＝60＞30，不合题意；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值.3.（2023牡丹江）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息1h后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发1.5h后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地.两车距A地的路程ykm与甲车行驶时间xh之间的函数关系如图所示.请结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车行驶的速度是km/h，乙车行驶的速度是km/h；12080（2）求图中线段MN所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；解：（2）设线段MN所在直线的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.将（1.5，360），（3，240）代入y＝kx＋b，得解得∴线段MN所在直线的解析式为y＝－80x＋480（1.5≤x≤6）.（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是160km？请直接写出答案.解：（3）2.5h或4.1h【解析】由题意，可得当y＝0时，x＝6.∴N（6，0）.∵两车同时到达目的地，∴乙到达目的地时，甲距A地的距离为360－120×（6－3－1）＝120（km）.∴F（6，120），E（4，360）.设乙车出发th，两车距各自出发地路程的差是160km.当0＜t≤1.5时，此时甲在到达C地前，则｜80t－120（t＋1.5）｜＝160，解得t1＝－0.5，t2＝－8.5，均不合题意，舍去；当1.5＜t≤2.5时，此时甲在C地休息，则｜80t－360｜＝160，解得t1＝2.5，t2＝6.5（不合题意，舍去）；当2.5＜t≤4.5时，此时甲从C地返回B地，则｜80t－[2×360－120（t＋1.5－1）]｜＝160，解得t1＝2.5（不合题意，舍去），t2＝4.1.综上所述，乙车出发2.5h或4.1h时，两车距各自出发地路程的差是160km.